Wie man Bewertungsmodelle wie Black-Scholes erstellt

Die Bewertung von Optionen kann eine schwierige Angelegenheit sein. Stellen Sie sich das folgende Szenario vor: Im Januar 2015 notierte die  Call-Option  auf die IBM-Aktie mit einem  ATM- Ausübungspreis  von 155 US-Dollar zu kaufen, in der Erwartung, von hohen prozentualen Renditen basierend auf geringen Optionskosten ( Optionsprämie ) im Vergleich zum Aktienkauf mit einem hohen Kaufpreis zu profitieren.

Heute stehen verschiedene vorgefertigte Methoden zur Bewertung von Optionen zur Verfügung – darunter das  Black-Scholes-Modell  und das  Binomialbaum-Modell –, die schnelle Antworten liefern können. Doch was sind die zugrunde liegenden Faktoren und die treibenden Konzepte, um zu solchen Bewertungsmodellen zu gelangen? Lässt sich anhand des Konzepts dieser Modelle etwas Ähnliches vorbereiten?

Hier behandeln wir die Bausteine, zugrunde liegenden Konzepte und die Faktoren, die als Rahmen für die Erstellung eines Bewertungsmodells für einen Vermögenswert wie Optionen verwendet werden können, und bieten einen direkten Vergleich mit den Ursprüngen der Black-Scholes (BS ) Modell.

Dieser Artikel beabsichtigt nicht, die Annahmen oder andere Faktoren des BS-Modells in Frage zu stellen (was insgesamt ein anderes Thema ist). Vielmehr soll das zugrundeliegende Konzept des Black-Scholes-Modells sowie die Idee der Bewertungsmodellentwicklung erläutert werden.

Die Welt vor Black-Scholes

Vor Black-Scholes wurde das auf dem Gleichgewicht basierende Capital Asset Pricing Model (CAPM) weitgehend befolgt. Die Renditen und Risiken wurden entsprechend der Anlegerpräferenz gegeneinander abgewogen, dh von einem risikofreudigen Anleger wurde erwartet, dass er mit (dem Potenzial von) höheren Renditen in einem ähnlichen Verhältnis entschädigt wird.

Das BS-Modell findet seine Wurzeln in CAPM.„Ich habe das Capital Asset Pricing Model auf jeden Moment im Leben eines Warrants angewendet, für jeden möglichen Aktienkurs und Warrant-Wert“, so Fischer Black. Leider war das CAPM nicht in derLage die Anforderung zu erfüllen Warrant (Option) Preis.

Black-Scholes bleibt das erste Modell, das auf dem Konzept der Arbitrage basiert und einen Paradigmenwechsel von risikobasierten Modellen (wie CAPM) vollzieht. Diese neue BS-Modellentwicklung ersetzte das CAPM-Stock-Return-Konzept mit der Erkenntnis, dass eine perfekt abgesicherte Position einen risikofreien Zinssatz einbringt. Dadurch wurden die Risiko- und Renditeschwankungen eliminiert und das Konzept der Arbitrage etabliert, bei dem Bewertungen auf Annahmen eines risikoneutralen Konzepts durchgeführt werden – eine abgesicherte (risikofreie) Position sollte zu einer risikofreien Rendite führen.

Die Entwicklung von Black-Scholes

Beginnen wir damit, das Problem zu ermitteln, zu quantifizieren und einen Rahmen für seine Lösung zu entwickeln. Wir fahren mit unserem Beispiel zur Bewertung der ATM-Call-Option auf IBM mit einem Ausübungspreis von 155 US-Dollar mit einem Jahr vor Ablauf fort.

Auf der Grundlage der grundlegenden Definition einer Call-Option bleibt die Auszahlung null, es sei denn, der Aktienkurs erreicht das Ausübungspreisniveau. Nach diesem Level steigt die Auszahlung linear (dh ein Anstieg des Basiswerts um einen Dollar führt zu einer Auszahlung von einem Dollar aus der Call-Option).

Unter der Annahme, dass Käufer und Verkäufer eine faire Bewertung (einschließlich Nullpreis) vereinbaren, beträgt der theoretische faire Preis für diese Call-Option:

• Call-Optionspreis = 0 $, wenn Basiswert < Strike (rote Grafik)
• Call-Optionspreis = (Basiswert – Basiswert), wenn Basiswert > = Basiswert (blauer Graph)

Dies stellt den inneren Wert der Option dar und sieht aus Sicht eines Käufers einer Call-Option perfekt aus. Im roten Bereich haben sowohl der Käufer als auch der Verkäufer eine faire Bewertung (Null-Preis für den Verkäufer, Null-Auszahlung an den Käufer). Die Bewertungsherausforderung beginnt jedoch im blauen Bereich, da der Käufer den Vorteil einer positiven Auszahlung hat, während der Verkäufer einen Verlust erleidet (vorausgesetzt, der Basispreis liegt über dem Ausübungspreis). Hier hat der Käufer einen Vorteil gegenüber dem Verkäufer mit Nullpreis. Die Preise müssen ungleich Null sein, um den Verkäufer für das von ihm eingegangene Risiko zu entschädigen.

Im ersteren Fall (rote Grafik) erhält der Verkäufer theoretisch einen Nullpreis und für den Käufer gibt es kein Auszahlungspotenzial (für beide fair). Im letzteren Fall (blaue Grafik) ist die Differenz zwischen Basiswert und Basispreis vom Verkäufer an den Käufer zu zahlen. Das Risiko des Verkäufers erstreckt sich über die Laufzeit eines ganzen Jahres. Zum Beispiel kann der zugrunde liegende Aktienkurs sehr hoch steigen (sagen wir auf 200 US-Dollar in vier Monaten) und der Verkäufer muss dem Käufer die Differenz von 45 US-Dollar zahlen.

Es läuft also auf Folgendes hinaus:

1. Wird der Kurs des Basiswerts den Ausübungspreis kreuzen?
2. Wenn ja, wie hoch kann der zugrunde liegende Preis sein (da dies die Auszahlung an den Käufer bestimmt)?

Dies weist auf das große Risiko des Verkäufers hin, das zu der Frage führt: Warum sollte jemand einen solchen Anruf verkaufen, wenn er für das eingegangene Risiko nichts bekommt?

Unser Ziel ist es, einen einzigen Preis zu erzielen, den der Verkäufer dem Käufer in Rechnung stellt, der ihn für das Gesamtrisiko, das er über ein Jahr eingeht, kompensieren kann – sowohl im Nullzahlungsbereich (rot) als auch im linearen Zahlungsbereich (blau).. Der Preis sollte für Käufer und Verkäufer fair und akzeptabel sein. Wenn nicht, wird derjenige, der in Bezug auf die Zahlung oder den Erhalt eines unfairen Preises benachteiligt ist, nicht am Markt teilnehmen, wodurch der Zweck des Handelsgeschäfts zunichte gemacht wird. Das Black-Scholes-Modell zielt darauf ab, diesen fairen Preis zu ermitteln, indem es die konstante Preisschwankung der Aktie, den Zeitwert des Geldes, den Ausübungspreis der Option und die Zeit bis zum Verfall der Option berücksichtigt. Sehen wir uns, ähnlich wie beim BS-Modell, an, wie wir dies für unser Beispiel mit unseren eigenen Methoden bewerten können.

Wie bewertet man den intrinsischen Wert in der blauen Region?

Es gibt eine Reihe von Methoden, um die erwartete Preisbewegung in der Zukunft während eines bestimmten Zeitrahmens vorherzusagen:

• Man kann ähnliche Kursbewegungen gleicher Dauer in der jüngeren Vergangenheit analysieren. Der historische Schlusskurs von IBM zeigt, dass der Kurs im vergangenen Jahr (2. Januar 2014 bis 31. Dezember 2014) von 185,53 USD auf 160,44 USD gefallen ist, was einem Rückgang von 13,5% entspricht. Können wir eine Preisbewegung von -13,5% für IBM abschließen?
• Eine weitere detaillierte Überprüfung zeigt, dass er ein Jahreshoch von 199,21 $ (am 10. April 2014) und ein Jahrestief von 150,5 $ (am 16. Dezember 2014) erreicht hat. Basierend auf dem Starttag, dem 2. Januar 2014, und dem Schlusskurs von 185,53 $ variiert die prozentuale Veränderung von +7,37 % bis -18,88 %. Jetzt sieht der Variationsbereich im Vergleich zu dem früher berechneten Rückgang von 13,5% viel breiter aus.

Ähnliche Analysen und Beobachtungen zu historischen Daten können durchgeführt werden. Um unsere Preismodellentwicklung fortzusetzen, nehmen wir diese einfache Methode an, um zukünftige Preisschwankungen zu messen.

Angenommen, IBM steigt jedes Jahr um 10 % (basierend auf den historischen Daten der letzten 20 Jahre). Grundlegende Statistiken zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der IBM-Aktienkurs um +10% schwankt, viel höher ist als die Wahrscheinlichkeit, dass der IBM-Preis um 20% steigt oder um 30% fällt, vorausgesetzt, dass sich historische Muster wiederholen. Durch die Erfassung ähnlicher historischer Datenpunkte mit Wahrscheinlichkeitswerten kann eine erwartete Gesamtrendite des IBM-Aktienkurses in einem Zeitraum von einem Jahr als gewichteter Durchschnitt der Wahrscheinlichkeiten und der damit verbundenen Renditen berechnet werden. Nehmen wir beispielsweise an, dass historische Preisdaten von IBM die folgenden Bewegungen anzeigen:

• (-10%) in 25% der Fälle,
• +10% in 35% der Fälle,
• +15% in 20% der Fälle,
• +20%  in 10% der Fälle,
• +25% in 5% der Fälle und
• (-15%) in 5% der Fälle.

Somit ergibt sich der gewichtete Durchschnitt (oder der Erwartungswert) zu:

(-10%*25% + 10%*35% + 15%*20% + 20%*10% + 25%*5% – 15%*5%)/100% = 6,5%

Das heißt, im Durchschnitt soll der Kurs der IBM-Aktie in einem Jahr pro Dollar um 6,5% zurückgehen. Wenn jemand die IBM-Aktie mit einer Laufzeit von einem Jahr und einem Kaufpreis von 155 US-Dollar kauft, kann man eine Nettorendite von 155 * 6,5% = 10,075 US-Dollar erwarten.

Dies gilt jedoch für die Aktienrendite. Wir müssen nach ähnlichen erwarteten Renditen für die Call-Option suchen.

Basierend auf einer Nullauszahlung des Calls unter dem Ausübungspreis (vorhandener $155 – ATM-Call) führen alle negativen Bewegungen zu Nullauszahlungen, während alle positiven Bewegungen über dem Ausübungspreis eine gleichwertige Auszahlung generieren. Die erwartete Rendite für die Call-Option beträgt somit:

( -0 % * 25 % + 10 % * 35 % + 15 % * 20 % + 20 % * 10 % + 25 % * 5 % — 0 % * 5 %)/100 % = 9,75 %

Das heißt, für jeweils 100 USD, die in den Kauf dieser Option investiert werden, können 9,75 USD erwartet werden (basierend auf den oben genannten Annahmen).

Dies bleibt jedoch weiterhin auf die faire Bewertung des inneren Optionsbetrags beschränkt und erfasst das vom Optionsverkäufer getragene Risiko für die hohen Schwankungen, die in der Zwischenzeit auftreten können (im Fall des oben genannten Intrayear-Hochs und -Niedrig) nicht korrekt Preise). Welchen Preis können Käufer und Verkäufer neben dem inneren Wert vereinbaren, damit der Verkäufer für das Risiko, das er über den Zeitraum von einem Jahr eingeht, angemessen entschädigt wird?

Diese Schwankungen können stark variieren und der Verkäufer kann seine eigene Interpretation davon haben, wie viel er dafür entschädigt werden möchte. Das Black-Scholes-Modell geht von europäischen Optionen aus, dh keine Ausübung vor dem Verfallsdatum. Somit bleibt er von zwischenzeitlichen Preisschwankungen unberührt und orientiert sich bei seiner Bewertung an den End-to-End-Handelstagen.

Im realen Daytrading spielt diese Volatilität eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Optionspreise. Die blaue Auszahlungsfunktion, die wir häufig sehen, ist eigentlich die Auszahlung am Verfallsdatum. Realistischerweise ist der Optionspreis (rosa Grafik) immer höher als die Auszahlung (blaue Grafik), was den Preis angibt, den der Verkäufer einnimmt, um seine Risikobereitschaft zu kompensieren. Aus diesem Grund wird der Optionspreis auch als Optionsprämie bezeichnet – er gibt im Wesentlichen die Risikoprämie an.

Dies kann in unserem Bewertungsmodell berücksichtigt werden, je nachdem, wie viel Volatilität im Aktienkurs erwartet wird und wie viel erwarteter Wert daraus resultieren würde.

Das Black-Scholes-Modell macht dies effizient (natürlich innerhalb seiner eigenen Annahmen) wie folgt:

Das BS-Modell geht von einer logarithmischen Normalverteilung der Aktienkursbewegungen aus, was die Verwendung von N (d1) und N (d2) rechtfertigt.

• Im ersten Teil gibt S den aktuellen Kurs der Aktie an.
• N(d1) gibt die Wahrscheinlichkeit der aktuellen Kursbewegung der Aktie an.

Wenn diese Option ins Geld geht und der Käufer diese Option ausüben kann, erhält er eine Aktie der zugrunde liegenden IBM-Aktie. Wenn der Händler sie heute ausübt, dann repräsentiert der S*N(d1) den aktuellen Tageserwartungswert der Option.

Im zweiten Teil gibt X den Ausübungspreis an.

• N(d2) stellt die Wahrscheinlichkeit dar, dass der Aktienkurs über dem Ausübungspreis liegt.
• X*N(d2) repräsentiert also den Erwartungswert des über  dem Ausübungspreis verbleibenden Aktienkurses.

Da das Black-Scholes-Modell von Optionen europäischer Art ausgeht, bei denen eine Ausübung erst am Ende möglich ist, sollte der oben durch X*N(d2) dargestellte Erwartungswert für den Zeitwert des Geldes abgezinst werden. Daher wird der letzte Teil mit dem exponentiellen Term multipliziert, der über den Zeitraum auf den Zinssatz erhöht wird.

Die Nettodifferenz der beiden Laufzeiten gibt den Preiswert der Option zum heutigen Tag an (wobei die zweite Laufzeit abgezinst wird)

In unserem Rahmen können solche Preisbewegungen auf verschiedene Weise genauer berücksichtigt werden:

• Weitere Verfeinerung der Berechnungen der erwarteten Rendite durch Erweiterung des Bereichs auf feinere Intervalle, um Intraday-/Intrayear-Preisbewegungen einzubeziehen
• Einbeziehung aktueller Marktdaten, da sie die aktuelle Aktivität widerspiegeln (ähnlich der impliziten Volatilität )
• Erwartete Renditen am Verfallsdatum, die für realistische Bewertungen auf den heutigen Tag zurückdiskontiert und vom aktuellen Wert weiter reduziert werden können

Somit sehen wir, dass den Annahmen, Methoden und Anpassungen für die quantitative Analyse keine Grenzen gesetzt sind. Je nach zu handelndem Vermögenswert oder zu erwägender Investition kann an einem selbst entwickelten Modell gearbeitet werden. Es ist wichtig zu beachten, dass die Volatilität der Preisbewegungen verschiedener Anlageklassen stark variiert – Aktien haben  Volatilitätsverzerrungen, Forex hat  Volatilitäts-Stirnrunzeln – und Benutzer sollten die anwendbaren Volatilitätsmuster in ihre Modelle einbeziehen. Annahmen und Nachteile sind ein wesentlicher Bestandteil jedes Modells, und eine sachkundige Anwendung von Modellen in realen Handelsszenarien kann zu besseren Ergebnissen führen.

Die Quintessenz

Da komplexe Vermögenswerte in die Märkte eintreten oder sogar einfache Vanille Vermögenswerte in komplexe Handelsformen übergehen, wird die quantitative Modellierung und Analyse für die Bewertung immer obligatorischer. Leider kommt kein mathematisches Modell ohne eine Reihe von Nachteilen und Annahmen. Der beste Ansatz besteht darin, die Annahmen auf ein Minimum zu beschränken und sich der implizierten Nachteile bewusst zu sein, was dabei helfen kann, die Grenzen der Verwendung und Anwendbarkeit der Modelle zu ziehen.