Optimieren Sie Ihr Portfolio mithilfe der Normalverteilung
Die Normalverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die alle ihre Werte symmetrisch darstellt, wobei die meisten Ergebnisse um den Mittelwert der Wahrscheinlichkeit liegen.
Normalverteilung (Glockenkurve)
Datensätze (wie die Größe von 100 Menschen, Noten von 45 Schülern in einer Klasse usw.) haben in der Regel viele Werte am selben Datenpunkt oder im selben Bereich. Diese Verteilung der Datenpunkte wird als Normal- oder Glockenkurvenverteilung bezeichnet.
Zum Beispiel können in einer Gruppe von 100 Personen 10 unter 5 Fuß groß sein, 65 können zwischen 5 und 5,5 Fuß stehen und 25 können über 5,5 Fuß sein. Diese bereichsgebundene Verteilung kann wie folgt aufgetragen werden:
In ähnlicher Weise können Datenpunkte, die in Diagrammen für einen bestimmten Datensatz dargestellt sind, verschiedenen Arten von Verteilungen ähneln. Drei der häufigsten sind linksbündige, rechtsbündige und durcheinandergebrachte Verteilungen:
Beachten Sie die rote Trendlinie in jedem dieser Diagramme. Dies zeigt grob den Datenverteilungstrend an. Die erste, „LEFT Aligned Distribution“, zeigt an, dass ein Großteil der Datenpunkte in den unteren Bereich fällt. Im zweiten Diagramm „RECHTS Ausgerichtete Verteilung“ fällt die Mehrzahl der Datenpunkte in das obere Ende des Bereichs, während das letzte Diagramm „Durcheinander verteilte Verteilung“ einen gemischten Datensatz ohne klaren Trend darstellt.
Es gibt viele Fälle, in denen die Verteilung von Datenpunkten in der Regel um einen zentralen Wert liegt und diese Grafik eine perfekte Normalverteilung zeigt – auf beiden Seiten gleich ausgewogen, wobei sich die höchste Anzahl von Datenpunkten in der Mitte konzentriert.
Hier ist ein perfekter, normalverteilter Datensatz:
Der zentrale Wert ist hier 50 (mit der größten Anzahl von Datenpunkten), und die Verteilung verjüngt sich gleichmäßig zu extremen Endwerten von 0 und 100 (mit der geringsten Anzahl von Datenpunkten). Die Normalverteilung ist symmetrisch um den zentralen Wert mit der Hälfte der Werte auf jeder Seite.
Viele Beispiele aus der Praxis passen zur Glockenkurvenverteilung:
- Werfen Sie eine faire Münze viele Male (sagen wir 100 Mal oder mehr) und Sie erhalten eine ausgewogene Normalverteilung von Kopf und Zahl.
- Wirf ein paar faire Würfel viele Male (sagen wir 100 Mal oder mehr) und das Ergebnis ist eine ausgeglichene Normalverteilung, die um die Zahl 7 zentriert ist und sich gleichmäßig zu extremen Endwerten von 2 und 12 verjüngt.
- Die Größe von Personen in einer Gruppe von beträchtlicher Größe und die von Personen in einer Klasse erzielten Noten folgen normalen Verteilungsmustern.
- In der Finanzwelt, Änderungen in den Log – Werte von Devisenkurse, Preisindizes, und die Aktienkurse normalverteilt angenommen werden.
Risiko und Rendite
Jede Investition hat zwei Aspekte: Risiko und Rendite. Anleger suchen das geringstmögliche Risiko für die höchstmögliche Rendite. Die Normalverteilung quantifiziert diese beiden Aspekte durch den Mittelwert für die Rendite und die Standardabweichung für das Risiko.
Mittelwert oder erwarteter Wert
Eine bestimmte durchschnittliche Änderung des Aktienkurses könnte täglich 1,5% betragen, was bedeutet, dass sie im Durchschnitt um 1,5% steigt. Dieser Mittelwert oder Erwartungswert, der die Rendite bedeutet, kann ermittelt werden, indem der Durchschnitt eines ausreichend großen Datensatzes berechnet wird, der historische tägliche Preisänderungen dieser Aktie enthält. Je höher der Mittelwert, desto besser.
Standardabweichung
Die Standardabweichung gibt den Betrag an, um den die Werte im Durchschnitt vom Mittelwert abweichen. Je höher die Standardabweichung ist, desto riskanter ist die Investition, da dies zu mehr Unsicherheit führt.
Hier ist eine grafische Darstellung derselben:
Die grafische Darstellung der Normalverteilung durch Mittelwert und Standardabweichung ermöglicht daher die Darstellung von Rendite und Risiko in einem klar definierten Bereich.
Es ist hilfreich zu wissen (und mit Sicherheit sicher zu sein), dass, wenn ein Datensatz dem Normalverteilungsmuster folgt, sein Mittelwert es uns ermöglicht, zu wissen, welche Renditen zu erwarten sind, und seine Standardabweichung es uns ermöglicht, zu wissen, dass etwa 68% der Werte vorliegen liegt innerhalb von 1 Standardabweichung, 95% innerhalb von 2 Standardabweichungen und 99% der Werte liegen innerhalb von 3 Standardabweichungen. Ein Datensatz mit einem Mittelwert von 1,5 und einer Standardabweichung von 1 ist viel riskanter als ein anderer Datensatz mit einem Mittelwert von 1,5 und einer Standardabweichung von 0,1.
Wenn Sie diese Werte für jeden ausgewählten Vermögenswert (dh Aktien, Anleihen und Fonds) kennen, wird ein Anleger auf die erwarteten Renditen und Risiken aufmerksam.
Es ist einfach, dieses Konzept anzuwenden und das Risiko und die Rendite einer einzelnen Aktie, Anleihe oder eines Fonds darzustellen. Aber kann dies auf ein Portfolio mit mehreren Vermögenswerten ausgedehnt werden?
Einzelpersonen beginnen mit dem Handel, indem sie eine einzelne Aktie oder Anleihe kaufen oder in einen Investmentfonds investieren. Allmählich neigen sie dazu, ihre Bestände zu erhöhen und mehrere Aktien, Fonds oder andere Vermögenswerte zu kaufen, wodurch ein Portfolio entsteht. In diesem inkrementellen Szenario bauen Einzelpersonen ihre Portfolios ohne Strategie oder viel Voraussicht auf. Professionelle Fondsmanager, Händler und Market Maker verfolgen eine systematische Methode, um ihr Portfolio mithilfe eines mathematischen Ansatzes aufzubauen, der als moderne Portfoliotheorie (MPT) bezeichnet wird und auf dem Konzept der „Normalverteilung“ basiert.
Moderne Portfolio-Theorie
Die moderne Portfoliotheorie (MPT) bietet einen systematischen mathematischen Ansatz, der darauf abzielt, die erwartete Rendite eines Portfolios für einen bestimmten Betrag des Portfoliorisikos durch Auswahl der Anteile verschiedener Vermögenswerte zu maximieren. Alternativ bietet es auch die Möglichkeit, das Risiko für ein bestimmtes Niveau der erwarteten Rendite zu minimieren.
Um dieses Ziel zu erreichen, sollten die in das Portfolio aufzunehmenden Vermögenswerte nicht nur nach ihrem individuellen Verdienst ausgewählt werden, sondern vielmehr danach, wie sich die einzelnen Vermögenswerte im Verhältnis zu den anderen Vermögenswerten im Portfolio entwickeln.
Kurz gesagt, MPT definiert, wie die Portfoliodiversifikation am besten erreicht werden kann, um die bestmöglichen Ergebnisse zu erzielen: maximale Rendite bei akzeptablem Risiko oder minimales Risiko bei gewünschter Rendite.
Die Bausteine
Das MPT war bei seiner Einführung ein derart revolutionäres Konzept, dass seine Erfinder einen Nobelpreis gewannen. Diese Theorie lieferte erfolgreich eine mathematische Formel, um die Diversifikation beim Investieren zu steuern.
Diversifikation ist eine Risikomanagementtechnik, bei der das Risiko „Alle Eier in einem Korb“ beseitigt wird, indem in nicht korrelierte Aktien, Sektoren oder Anlageklassen investiert wird. Im Idealfall wird durch die positive Wertentwicklung eines Vermögenswerts im Portfolio die negative Wertentwicklung anderer Vermögenswerte aufgehoben.
Um die nehmen durchschnittliche Rendite des Portfolios, der hat n verschiedene Vermögenswerte, der Anteil-gewichtete Kombination der konstituierenden Erträge Vermögen berechnet.
Aufgrund der Art der statistischen Berechnungen und der Normalverteilung wird die Gesamtportfoliorendite (R p ) wie folgt berechnet:
Die Summe (∑), wobei w i das anteilige Gewicht des Vermögenswerts i im Portfolio ist, R i die Rendite (Mittelwert) des Vermögenswerts i ist.
Das Portfoliorisiko (oder die Standardabweichung) ist eine Funktion der Korrelationen der enthaltenen Vermögenswerte für alle Vermögenspaare (in Bezug aufeinander im Paar).
Aufgrund der Art der statistischen Berechnungen und der Normalverteilung wird das Gesamtportfoliorisiko (Std-dev) p wie folgt berechnet:
((S.td- -dev)p=sqrt
.(Std- -dev)p.=sqrt[ich∑.j∑.wich.wj.(std- -dev)ich.(std- -dev)j.(cor- -cofij.)].
Hier ist cor-cof der Korrelationskoeffizient zwischen den Renditen der Vermögenswerte i und j, und sqrt ist die Quadratwurzel.
Dies berücksichtigt die relative Leistung jedes Vermögenswerts in Bezug auf den anderen.
Obwohl dies mathematisch komplex erscheint, umfasst das hier angewandte einfache Konzept nicht nur die Standardabweichungen einzelner Vermögenswerte, sondern auch die zueinander verwandten.
Ein gutes Beispiel finden Sie hier an der University of Washington.
Ein kurzes Beispiel für MPT
Stellen wir uns als Gedankenexperiment vor, wir sind ein Portfoliomanager, dem Kapital zugewiesen wurde und der die Aufgabe hat, wie viel Kapital zwei verfügbaren Vermögenswerten (A & B) zugewiesen werden soll, damit die erwartete Rendite maximiert und das Risiko gesenkt wird.
Wir haben auch die folgenden Werte zur Verfügung:
R a = 0,175
R b = 0,055
(Std-dev) a = 0,258
(Std-dev) b = 0,115
(Std-dev) ab = -0,004875
(Cor-cof) ab = -0,164
Beginnend mit der gleichen 50-50-Zuordnung zu jedem Vermögenswert A & B berechnet sich R p auf 0,115 und (Std-dev) p auf 0,1323. Ein einfacher Vergleich zeigt, dass bei diesem 2-Asset-Portfolio sowohl die Rendite als auch das Risiko in der Mitte zwischen den einzelnen Werten jedes Assets liegen.
Unser Ziel ist es jedoch, die Rendite des Portfolios über den bloßen Durchschnitt eines einzelnen Vermögenswerts hinaus zu verbessern und das Risiko so zu verringern, dass es niedriger ist als das der einzelnen Vermögenswerte.
Nehmen wir nun eine Kapitalallokationsposition von 1,5 in Vermögenswert A und eine Kapitalallokationsposition von -0,5 in Vermögenswert B. (Negative Kapitalallokation bedeutet Shorting, dass Aktien und erhaltenes Kapital verwendet werden, um den Überschuss des anderen Vermögenswerts mit positiver Kapitalallokation zu kaufen Mit anderen Worten, wir verkaufen Aktien B für das 0,5-fache des Kapitals und verwenden dieses Geld, um Aktien A für das 1,5-fache des Kapitals zu kaufen.)
Unter Verwendung dieser Werte erhalten wir R p als 0,1604 und (Std-dev) p als 0,4005.
In ähnlicher Weise können wir weiterhin unterschiedliche Allokationsgewichte für Asset A & B verwenden und zu unterschiedlichen Sätzen von Rp und (Std-dev) p gelangen. Entsprechend der gewünschten Rendite (Rp) kann man das akzeptabelste Risikoniveau (std-dev) p wählen. Alternativ kann für das gewünschte Risikoniveau die beste verfügbare Portfoliorendite ausgewählt werden. In beiden Fällen ist es durch dieses mathematische Modell der Portfoliotheorie möglich, das Ziel zu erreichen, ein effizientes Portfolio mit der gewünschten Risiko-Rendite-Kombination zu erstellen.
Die Verwendung automatisierter Werkzeuge ermöglicht es, die bestmöglichen zugewiesenen Proportionen einfach und reibungslos zu ermitteln, ohne dass langwierige manuelle Berechnungen erforderlich sind.
Die effiziente Grenze, das Capital Asset Pricing Model (CAPM) und die Asset Pricing mit MPT entwickeln sich ebenfalls aus demselben Normalverteilungsmodell und sind eine Erweiterung von MPT.
Herausforderungen für MPT (und die zugrunde liegende Normalverteilung)
Leider ist kein mathematisches Modell perfekt und jedes weist Unzulänglichkeiten und Einschränkungen auf.
Die Grundannahme, dass Aktienkursrenditen der Normalverteilung selbst folgen, wird immer wieder in Frage gestellt. Es gibt genügend empirische Beweise für Fälle, in denen Werte nicht der angenommenen Normalverteilung entsprechen. Wenn komplexe Modelle auf solchen Annahmen basieren, kann dies zu Ergebnissen mit großen Abweichungen führen.
Bei näherer Betrachtung der MPT gelten die Berechnungen und Annahmen über den Korrelationskoeffizienten und die Kovarianz (basierend auf historischen Daten) möglicherweise nicht unbedingt für zukünftige erwartete Werte. Beispielsweise zeigten die Anleihen- und Aktienmärkte von 2001 bis 2004 eine perfekte Korrelation auf dem britischen Markt, wo die Renditen beider Vermögenswerte gleichzeitig sanken. In der Realität wurde das Gegenteil über lange historische Zeiträume vor 2001 beobachtet.
Das Anlegerverhalten wird in diesem mathematischen Modell nicht berücksichtigt. Steuern und Transaktionskosten werden vernachlässigt, obwohl eine gebrochene Kapitalallokation und die Möglichkeit des Leerverkaufs von Vermögenswerten angenommen wird.
In der Realität kann keine dieser Annahmen zutreffen, was bedeutet, dass die realisierten finanziellen Renditen erheblich von den erwarteten Gewinnen abweichen können.
Das Fazit
Mathematische Modelle bieten einen guten Mechanismus zur Quantifizierung einiger Variablen mit einzelnen, verfolgbaren Zahlen. Aufgrund der Einschränkungen der Annahmen können Modelle jedoch fehlschlagen.
Die Normalverteilung, die die Grundlage der Portfoliotheorie bildet, gilt möglicherweise nicht unbedingt für Aktien und andere Preismuster für finanzielle Vermögenswerte. Die Portfoliotheorie an sich enthält viele Annahmen, die kritisch geprüft werden sollten, bevor wichtige finanzielle Entscheidungen getroffen werden.