Exponentielles Wachstum
Was ist exponentielles Wachstum?
Exponentielles Wachstum ist ein Datenmuster, das im Laufe der Zeit stärker zunimmt und die Kurve einer Exponentialfunktion erzeugt. Angenommen, eine Mäusepopulation nimmt jedes Jahr exponentiell zu, beginnend mit zwei im ersten Jahr, dann vier im zweiten Jahr, 16 im dritten Jahr, 256 im vierten Jahr und so weiter. Die Bevölkerung wächst in diesem Fall jedes Jahr in die Potenz von 2.
Die zentralen Thesen:
- Exponentielles Wachstum ist ein Datenmuster, das im Laufe der Zeit einen stärkeren Anstieg zeigt.
- Im Finanzwesen führt die Aufzinsung zu exponentiellen Renditen.
- Sparkonten mit einem Zinseszinssatz können ein exponentielles Wachstum aufweisen.
Exponentielles Wachstum verstehen
Im Finanzbereich führen zusammengesetzte Renditen zu exponentiellem Wachstum. Die Macht des Compoundierens ist eine der mächtigsten Kräfte im Finanzwesen. Dieses Konzept ermöglicht es die Investoren große Summen mit geringem Anfang zu schaffen Kapital. Sparkonten mit einem Zinseszinssatz sind gängige Beispiele für exponentielles Wachstum.
Anwendungen des exponentiellen Wachstums
Angenommen, Sie zahlen 1.000 US-Dollar auf ein Konto ein, das einen garantierten Zinssatz von 10 % erhält. Wenn das Konto einen einfachen Zinssatz hat, verdienen Sie 100 USD pro Jahr. Die Höhe der gezahlten Zinsen ändert sich nicht, solange keine zusätzlichen Einlagen getätigt werden.
Wenn das Konto jedoch einen Zinseszinssatz aufweist, erhalten Sie Zinsen auf die kumulierte Kontosumme. Jedes Jahr wird der Kreditgeber den Zinssatz auf die Summe der anfänglichen Einzahlung zusammen mit allen zuvor gezahlten Zinsen anwenden. Im ersten Jahr beträgt der Zins immer noch 10% oder 100 USD. Im zweiten Jahr wird der Satz von 10% jedoch auf die neue Summe von 1.100 USD angewendet, was 110 USD ergibt. Mit jedem folgenden Jahr wächst die Höhe der gezahlten Zinsen, was zu einem sich schnell beschleunigenden oder exponentiellen Wachstum führt. Nach 30 Jahren, ohne dass weitere Einzahlungen erforderlich sind, wäre Ihr Konto 17.449,40 USD wert.
Die Formel für exponentielles Wachstum
Auf einem Chart beginnt diese Kurve langsam, bleibt eine Zeit lang fast flach, bevor sie schnell ansteigt, um fast vertikal zu erscheinen. Es folgt der Formel:
Der aktuelle Wert V eines anfänglichen Startpunktes, der einem exponentiellen Wachstum unterliegt, kann durch Multiplikation des Startwerts S mit der Summe von Eins plus dem Zinssatz R hoch T oder der Zahl von bestimmt werden abgelaufene Zeiträume.
Besondere Überlegungen
Während bei der Finanzmodellierung häufig exponentielles Wachstum verwendet wird, ist die Realität häufig komplizierter. Die Anwendung des exponentiellen Wachstums funktioniert im Beispiel eines Sparkontos gut, da der Zinssatz garantiert ist und sich im Laufe der Zeit nicht ändert. Bei den meisten Investitionen ist dies nicht der Fall. Zum Beispiel folgen die Aktienmarktrenditen nicht jedes Jahr den langfristigen Durchschnittswerten.
Andere Methoden zur Vorhersage langfristiger Renditen – wie die Monte-Carlo-Simulation, bei der Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeit unterschiedlicher potenzieller Ergebnisse zu bestimmen – erfreuen sich zunehmender Beliebtheit. Exponentielle Wachstumsmodelle sind nützlicher, um Anlagerenditen vorherzusagen, wenn die Wachstumsrate konstant ist.