Aufschlüsselung des Binomialmodells zur Bewertung einer Option
In der Finanzwelt sind das Black-Scholes und das binomiale Optionsbewertungsmodell zwei der wichtigsten Konzepte der modernen Finanztheorie. Beide werden verwendet, um eine Option zu bewerten, und jede hat ihre eigenen Vor- und Nachteile.
Einige der grundlegenden Vorteile der Verwendung des Binomialmodells sind:
- Eine Ansicht über mehrere Perioden
- Transparenz
- Fähigkeit, Wahrscheinlichkeiten einzubeziehen
In diesem Artikel untersuchen wir die Vorteile der Verwendung des Binomialmodells anstelle des Black-Scholes-Modells und stellen einige grundlegende Schritte zur Entwicklung des Modells und zur Erläuterung seiner Verwendung bereit.
Mehrperiodenansicht
Das Binomialmodell bietet eine Mehrperiodenansicht des Basiswertpreises sowie des Optionspreises. Im Gegensatz zum Black-Scholes-Modell, das ein numerisches Ergebnis basierend auf Eingaben liefert, ermöglicht das Binomialmodell die Berechnung des Vermögenswerts und die Option für mehrere Perioden sowie den Bereich möglicher Ergebnisse für jede Periode (siehe unten).
Der Vorteil dieser Mehrperiodenansicht besteht darin, dass der Benutzer die Veränderung des Vermögenspreises von Periode zu Periode visualisieren und die Option basierend auf Entscheidungen, die zu verschiedenen Zeitpunkten getroffen wurden, bewerten kann. Für eine US-amerikanische Option, die jederzeit vor dem Verfallsdatum ausgeübt werden kann, kann das Binomialmodell Aufschluss darüber geben, wann die Ausübung der Option ratsam ist und wann sie für längere Zeit gehalten werden sollte. Durch Betrachten des Binomialbaums der Werte kann ein Händler im Voraus bestimmen, wann eine Entscheidung über eine Ausübung erfolgen kann. Bei einem positiven Optionswert besteht die Möglichkeit der Ausübung, bei einem Optionswert kleiner Null sollte sie länger gehalten werden.
Transparenz
Eng verbunden mit der mehrjährigen Überprüfung ist die Fähigkeit des Binomialmodells, im Laufe der Zeit Transparenz über den zugrunde liegenden Wert des Vermögenswerts und der Option zu schaffen. Das Black-Scholes-Modell hat fünf Eingaben:
- Der risikofreie Zinssatz
- Der Ausübungspreis
- Der aktuelle Preis des Vermögenswerts
- Zeit bis zur Reife
- Die implizite Volatilität des Vermögenspreises
Wenn diese Datenpunkte in ein Black-Scholes-Modell eingegeben werden, berechnet das Modell einen Wert für die Option, aber die Auswirkungen dieser Faktoren werden nicht von Periode zu Periode offengelegt. Mit dem Binomialmodell kann ein Händler die Veränderung des zugrunde liegenden Vermögenswerts von Periode zu Periode und die entsprechende Veränderung des Optionspreises sehen.
Einbeziehen von Wahrscheinlichkeiten
Die grundlegende Methode zur Berechnung des binomialen Optionsmodells besteht darin, in jeder Periode die gleiche Wahrscheinlichkeit für Erfolg und Misserfolg bis zum Verfall der Option zu verwenden. Ein Händler kann jedoch für jeden Zeitraum unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten basierend auf neuen Informationen, die im Laufe der Zeit erhalten werden, berücksichtigen.
Es besteht beispielsweise eine 50/50-Chance, dass der Preis des zugrunde liegenden Vermögenswerts in einem Zeitraum um 30 Prozent steigen oder fallen kann. Für die zweite Periode kann die Wahrscheinlichkeit, dass der Preis des Basiswerts steigt, jedoch auf 70/30 steigen. Wenn ein Investor beispielsweise eine Ölquelle bewertet, ist dieser Investor nicht sicher, wie hoch der Wert dieser Ölquelle ist, aber es besteht eine 50/50-Chance, dass der Preis steigt. Wenn die Ölpreise in Periode 1 steigen, was die Ölquelle wertvoller macht und die Marktfundamentaldaten nun auf einen anhaltenden Anstieg der Ölpreise hinweisen, kann die Wahrscheinlichkeit einer weiteren Preissteigerung jetzt 70 Prozent betragen. Das Binomialmodell ermöglicht diese Flexibilität; das Black-Scholes-Modell nicht.
Entwicklung des Modells
Das einfachste Binomialmodell hat zwei erwartete Renditen, deren Wahrscheinlichkeiten sich auf 100 Prozent summieren. In unserem Beispiel gibt es zu jedem Zeitpunkt zwei mögliche Ergebnisse für die Ölquelle. Eine komplexere Version könnte drei oder mehr verschiedene Ergebnisse haben, von denen jedem eine Eintrittswahrscheinlichkeit gegeben wird.
Um die Renditen pro Periode ab dem Zeitpunkt Null (jetzt) zu berechnen, müssen wir in einer Periode den Wert des zugrunde liegenden Vermögenswerts bestimmen. In diesem Beispiel gehen wir von folgendem aus:
- Preis des Basiswerts (P) : $500
- Ausübungspreis für Call-Option (K): 600 USD
- Risikofreier Zinssatz für den Zeitraum: 1 Prozent
- Preisänderung pro Periode: 30 Prozent nach oben oder unten
Der Preis des Basiswerts beträgt 500 USD und kann in Periode 1 entweder 650 USD oder 350 USD betragen. Dies entspricht einer Zunahme oder Abnahme um 30 Prozent in einem Zeitraum. Da der Ausübungspreis der von uns gehaltenen Call-Optionen 600 USD beträgt, wäre der Wert der Call-Option Null, wenn der Basiswert weniger als 600 USD beträgt. Übersteigt der Basiswert hingegen den Ausübungspreis von 600 USD, entspricht der Wert der Call-Option der Differenz zwischen dem Preis des Basiswerts und dem Ausübungspreis. Die Formel für diese Berechnung lautet [max(PK),0].
Nehmen wir an, es besteht eine 50-prozentige Chance, zu steigen und eine 50-prozentige Chance, zu sinken. Am Beispiel der Werte von Periode 1 wird dies berechnet als
max
meinx[($650−$600),0]∗0.5+meinx[($350−$600),0]∗0.5=$50∗0.5+$0=$25
Um den aktuellen Wert der Call-Option zu erhalten, müssen wir die $25 in Periode 1 zurück auf Periode 0 abzinsen, was which ist
Sie können nun sehen, dass sich bei einer Änderung der Wahrscheinlichkeiten auch der Erwartungswert des zugrunde liegenden Vermögenswerts ändert. Sollte die Wahrscheinlichkeit geändert werden, kann diese auch für jede Folgeperiode geändert werden und muss nicht zwingend gleich bleiben.
Das Binomialmodell kann leicht auf mehrere Perioden erweitert werden. Obwohl das Black-Scholes-Modell das Ergebnis eines verlängerten Ablaufdatums berechnen kann, erweitert das Binomialmodell die Entscheidungspunkte auf mehrere Perioden.
Verwendungen für das Binomialmodell
Neben seiner Anwendung als Methode zur Berechnung des Optionswertes kann das Binomialmodell auch für Projekte oder Investitionen mit hoher Unsicherheit, Investitions und Ressourcenallokationsentscheidungen sowie Projekte mit mehreren Perioden oder einem eingebettete Option, das Projekt zu bestimmten Zeitpunkten entweder fortzusetzen oder abzubrechen.
Ein einfaches Beispiel ist ein Projekt, bei dem nach Öl gebohrt wird. Die Unsicherheit bei dieser Art von Projekt, ob das gebohrte Land überhaupt Öl enthält, die Ölmenge, die gebohrt werden kann, ob das Öl gefunden wird und der Preis, zu dem das Öl nach der Förderung verkauft werden kann.
Das binomische Optionsmodell kann an jedem Punkt des bei der Entscheidungsfindung hilft Ölbohrungen Projektes. Nehmen wir zum Beispiel an, wir beschließen, zu bohren, aber die Ölquelle wird nur dann profitabel sein, wenn wir genug Öl finden und der Ölpreis einen bestimmten Betrag überschreitet. Es wird einen ganzen Zeitraum dauern, um zu bestimmen, wie viel Öl wir fördern können und wie der Ölpreis zu diesem Zeitpunkt ist. Nach der ersten Periode (zB ein Jahr) können wir anhand dieser beiden Datenpunkte entscheiden, ob wir weiter bohren oder das Projekt aufgeben. Diese Entscheidungen können kontinuierlich getroffen werden, bis ein Punkt erreicht ist, an dem das Bohren keinen Wert mehr hat, zu welchem Zeitpunkt das Bohrloch aufgegeben wird.
Die Quintessenz
Das Binomialmodell bietet eine detailliertere Ansicht, indem es mehrere Perioden des Basiswertpreises und des Optionspreises für mehrere Perioden sowie die Bandbreite der möglichen Ergebnisse für jede Periode ermöglicht. Während sowohl das Black-Scholes-Modell als auch das Binomialmodell zur Bewertung von Optionen verwendet werden können, hat das Binomialmodell ein breiteres Anwendungsspektrum, ist intuitiver und einfacher zu verwenden.