Arbitrage-Pricing-Theorie: Es ist nicht nur ausgefallene Mathematik
Die Arbitrage Pricing Theory (APT) ist eine Alternative zum Capital Asset Pricing Model (CAPM), um Renditen von Vermögenswerten oder Portfolios zu erklären. Es wurde in den 1970er Jahren vom Ökonomen Stephen Ross entwickelt . Im Laufe der Jahre hat die Arbitrage-Preistheorie aufgrund ihrer relativ einfacheren Annahmen an Popularität gewonnen. Die Arbitrage-Pricing-Theorie ist jedoch in der Praxis viel schwieriger anzuwenden, da sie viele Daten und komplexe statistische Analysen erfordert.
Sehen wir uns an, was Arbitrage-Pricing-Theorie ist und wie wir sie in die Praxis umsetzen können.
Was ist APT?
APT ist ein technisches Multi-Faktor-Modell, das auf der Beziehung zwischen der erwarteten Rendite eines finanziellen Vermögenswerts und seinem Risiko basiert. Das Modell soll die Sensitivität der Vermögensrenditen gegenüber Veränderungen bestimmter makroökonomischer Variablen erfassen. Anleger und Finanzanalysten können diese Ergebnisse verwenden, um die Preisbildung von Wertpapieren zu unterstützen.
Der Arbitrage-Preistheorie liegt die Überzeugung zugrunde, dass fehlbewertete Wertpapiere kurzfristige, risikofreie Gewinnchancen darstellen können. APT unterscheidet sich vom konventionelleren CAPM, das nur einen einzigen Faktor verwendet. Wie CAPM geht der APT jedoch davon aus, dass ein Faktormodell die Korrelation zwischen Risiko und Rendite effektiv beschreiben kann.
Drei zugrunde liegende Annahmen von APT
Im Gegensatz zum Capital Asset Pricing Model geht die Arbitrage-Pricing-Theorie nicht davon aus, dass Anleger effiziente Portfolios halten.
Die Theorie folgt jedoch drei zugrunde liegenden Annahmen:
- Die Renditen von Vermögenswerten werden durch systematische Faktoren erklärt.
- Anleger können ein Portfolio von Vermögenswerten aufbauen, bei denen spezifische Risiken durch Diversifikation eliminiert werden.
- Bei gut diversifizierten Portfolios besteht keine Arbitragemöglichkeit. Sollten Arbitragemöglichkeiten bestehen, werden diese von den Anlegern verwertet. (So hat die Theorie ihren Namen bekommen.)
Annahmen des Capital Asset Pricing Modells
Wir sehen, dass dies lockerere Annahmen sind als die des Capital Asset Pricing Modells. Dieses Modell geht davon aus, dass alle Anleger homogene Erwartungen in Bezug auf die mittlere Rendite und die Varianz der Vermögenswerte haben. Es wird auch davon ausgegangen, dass allen Anlegern dieselbe Effizienzgrenze zur Verfügung steht.
Für ein gut diversifiziertes Portfolio kann eine grundlegende Formel zur Beschreibung der Arbitrage-Preistheorie wie folgt geschrieben werden:
R f ist die Rendite, wenn der Vermögenswert keinen Faktoren ausgesetzt war, d. h. allen
βn=0\beta_n = 0βn=0
Anders als im Capital Asset Pricing-Modell spezifiziert die Arbitrage Pricing-Theorie die Faktoren nicht. Nach den Recherchen von Stephen Ross und Richard Roll sind die wichtigsten Faktoren jedoch die folgenden:
- Veränderung der Inflation
- Veränderung des Niveaus der Industrieproduktion
- Verschiebungen der Risikoprämien
- Formänderung der Zinsstruktur
Laut den Forschern Ross und Roll entspricht die tatsächliche Rendite der erwarteten Rendite, wenn die Änderung der oben genannten Faktoren nicht überraschend ist. Bei unerwarteten Änderungen der Faktoren wird die tatsächliche Rendite jedoch wie folgt definiert:
Beachten Sie, dass f‘ n die unerwartete Änderung des Faktors oder Überraschungsfaktors ist, e der Restanteil der tatsächlichen Rendite.
(Weitere Informationen zum Preismodell für Kapitalanlagen finden Sie unter Die Vor- und Nachteile des CAPM-Modells.)
Schätzung von Faktorsensitivitäten und Faktorprämien
Wie können wir tatsächlich Faktorsensitivitäten ableiten? Denken Sie daran, dass wir im Capital Asset Pricing-Modell das Asset-Beta, das die Asset-Sensitivität gegenüber der Marktrendite misst, abgeleitet haben, indem wir einfach die tatsächlichen Asset-Renditen mit den Marktrenditen regressieren. Die Ableitung des Betas der Faktoren ist ziemlich ähnlich.
Um die Technik der Schätzung von ß n (Sensitivität gegenüber dem Faktor n) und f n (der n-te Faktorpreis) zu veranschaulichen , nehmen wir den S&P 500 Total Return Index und den NASDAQ Composite Total Return Index als Proxys für gut diversifizierte Portfolios für die wir ß n und f n finden wollen. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass wir wissen, dass R f (die risikofreie Rendite) 2 Prozent beträgt. Wir gehen außerdem davon aus, dass die erwartete jährliche Rendite der Portfolios 7 Prozent für den S&P 500 Total Return Index und 9 Prozent für den NASDAQ Composite Total Return Index beträgt.
Schritt 1: Bestimmen Sie systematische Faktoren
Wir müssen die systematischen Faktoren bestimmen, mit denen die Portfoliorenditen erklärt werden. Nehmen wir an, dass die Wachstumsrate des realen Bruttoinlandsprodukts (BIP) und die Veränderung der Rendite zehnjähriger Staatsanleihen die Faktoren sind, die wir brauchen. Da wir uns für zwei Indizes mit großen Bestandteilen entschieden haben, können wir sicher sein, dass unsere Portfolios gut diversifiziert sind und das spezifische Risiko nahe Null liegt.
Schritt 2: Erhalten Sie Betas
Wir haben eine Regression der historischen vierteljährlichen Daten jedes Index gegen die vierteljährlichen realen BIP-Wachstumsraten und die vierteljährlichen Veränderungen der T-Bond-Rendite durchgeführt. Beachten Sie, dass wir die technischen Seiten der Regressionsanalyse überspringen, da diese Berechnungen nur zur Veranschaulichung dienen.
Hier sind die Ergebnisse:
Regressionsergebnisse zeigen, dass beide Portfolios viel höhere Sensitivitäten gegenüber BIP-Wachstumsraten aufweisen (was logisch ist, da sich das BIP-Wachstum normalerweise in Veränderungen am Aktienmarkt widerspiegelt) und sehr geringe Sensitivitäten gegenüber T-Bond-Renditenänderungen (auch dies ist logisch, da die Aktien weniger stark sind) empfindlicher gegenüber Renditeänderungen als Anleihen).
Schritt 3: Erhalten Sie Faktorpreise oder Faktorprämien
Nachdem wir nun Betafaktoren erhalten haben, können wir die Faktorpreise schätzen, indem wir die folgenden Gleichungen lösen:
7%=2%+3.45∗f1+0.033∗f27\% = 2\% + 3.45*f_1 + 0.033*f_27%=2%+3.45∗f1+0.033∗f2
f1=1.43%f_1= 1.43\%f1=1.43% und
f2=2.47%f_2= 2.47\%f2=2.47%
Daher lautet eine allgemeine Ex-ante Gleichung der Arbitrage-Preistheorie für jedes i- Portfolio wie folgt:
E(Ri)=2%+1.43%∗β1+2.47%∗β2E(R_i) = 2\% + 1.43\%*\beta_1 + 2.47\%*\beta_2E(Ri)=2%+1.43%∗β1+2.47%∗β2
Taking Advantage of Arbitrage Opportunities
The idea behind a no-arbitrage condition is that if there is a mispriced security in the market, investors can always construct a portfolio with factor sensitivities similar to those of mispriced securities and exploit the arbitrage opportunity.
For example, suppose that apart from our index portfolios there is an ABC Portfolio with the respective data provided in the following table:
We can construct a portfolio from the first two index portfolios (with an S&P 500 Total Return Index weight of 70 percent and NASDAQ Composite Total Return Index weight of 30 percent) with similar factor sensitivities as the ABC Portfolio as shown in the last raw of the table. Let’s call this the Combined Index Portfolio. The Combined Index Portfolio has the same betas to the systematic factors as the ABC Portfolio but a lower expected return.
This implies that the ABC portfolio is undervalued. We will then short the Combined Index Portfolio and with those proceeds purchase shares of the ABC Portfolio, which is also called the arbitrage portfolio (because it exploits the arbitrage opportunity). As all investors would sell an overvalued and buy an undervalued portfolio, this would drive away any arbitrage profit. This is why the theory is called arbitrage pricing theory.
The Bottom Line
Arbitrage pricing theory, as an alternative model to the capital asset pricing model, tries to explain asset or portfolio returns with systematic factors and asset/portfolio sensitivities to such factors. The theory estimates the expected returns of a well-diversified portfolios with the underlying assumption that portfolios are well-diversified and any discrepancy from the equilibrium price in the market would be instantaneously driven away by investors. Any difference between actual return and expected return is explained by factor surprises (differences between expected and actual values of factors).
The drawback of arbitrage pricing theory is that it does not specify the systematic factors, but analysts can find these by regressing historical portfolio returns against factors such as real GDP growth rates, inflation changes, term structure changes, risk premium changes and so on. Regression equations make it possible to assess which systematic factors explain portfolio returns and which do not.