Hypothesentest im Finanzwesen: Konzept und Beispiele
Ihr Anlageberater schlägt Ihnen einen monatlichen Einkommensinvestitionsplan vor, der jeden Monat eine variable Rendite verspricht. Sie werden nur dann investieren, wenn Sie ein durchschnittliches monatliches Einkommen von 180 USD haben. Ihr Berater teilt Ihnen außerdem mit, dass das System in den letzten 300 Monaten eine Anlagerendite mit einem Durchschnittswert von 190 USD und einer Standardabweichung von 75 USD erzielt hat. Sollten Sie in dieses Programm investieren? Hypothesentests helfen bei solchen Entscheidungen.
Die zentralen Thesen
- Das Testen von Hypothesen ist ein mathematisches Werkzeug zur Bestätigung eines finanziellen oder geschäftlichen Anspruchs oder einer Idee.
- Das Testen von Hypothesen ist nützlich für Anleger, die versuchen zu entscheiden, in was sie investieren möchten und ob das Instrument wahrscheinlich eine zufriedenstellende Rendite liefert.
- Trotz der Existenz unterschiedlicher Methoden zum Testen von Hypothesen werden dieselben vier Schritte verwendet: Definieren Sie die Hypothese, legen Sie die Kriterien fest, berechnen Sie die Statistik und kommen Sie zu einer Schlussfolgerung.
- Dieses mathematische Modell weist, wie die meisten statistischen Werkzeuge und Modelle, Einschränkungen auf und ist anfällig für bestimmte Fehler, sodass Anleger auch andere Modelle in Verbindung mit diesem Modell in Betracht ziehen müssen
Was ist Hypothesentest?
Hypothesen- oder Signifikanztests sind ein mathematisches Modell zum Testen eines Anspruchs, einer Idee oder einer Hypothese über einen interessierenden Parameter in einem bestimmten Populationssatz unter Verwendung von Daten, die in einem Stichprobensatz gemessen wurden. An ausgewählten Stichproben werden Berechnungen durchgeführt, um entscheidende Informationen über die Merkmale der gesamten Population zu erhalten. Auf diese Weise können Behauptungen oder Vorstellungen über den gesamten Datensatz systematisch getestet werden.
Hier ein einfaches Beispiel: Ein Schulleiter berichtet, dass Schüler in ihrer Schule in Prüfungen durchschnittlich 7 von 10 Punkten erzielen. Um diese „Hypothese“ zu testen, zeichnen wir Noten von beispielsweise 30 Schülern (Stichprobe) aus der gesamten Schülerpopulation der Schule (z. B. 300) auf und berechnen den Mittelwert dieser Stichprobe. Wir können dann den (berechneten) Stichprobenmittelwert mit dem (gemeldeten) Populationsmittelwert vergleichen und versuchen, die Hypothese zu bestätigen.
Ein weiteres Beispiel ist die jährliche Rendite eines bestimmten Investmentfonds von 8%. Angenommen, der Investmentfonds besteht seit 20 Jahren. Wir nehmen eine Zufallsstichprobe der jährlichen Renditen des Investmentfonds für beispielsweise fünf Jahre (Stichprobe) und berechnen dessen Mittelwert. Wir vergleichen dann den (berechneten) Stichprobenmittelwert mit dem (beanspruchten) Populationsmittelwert, um die Hypothese zu verifizieren.
In diesem Artikel wird davon ausgegangen, dass die Leser mit den Konzepten einer Normalverteilungstabelle, einer Formel, einem p-Wert und den damit verbundenen Grundlagen der Statistik vertraut sind.
Es gibt verschiedene Methoden zum Testen von Hypothesen, aber die gleichen vier grundlegenden Schritte sind involviert:
Schritt 1: Definieren Sie die Hypothese
Normalerweise wird der gemeldete Wert (oder die Anspruchsstatistik) als Hypothese angegeben und als wahr angenommen. Für die obigen Beispiele lautet die Hypothese:
- Beispiel A: Schüler der Schule erzielen in Prüfungen durchschnittlich 7 von 10 Punkten.
- Beispiel B: Die jährliche Rendite des Investmentfonds beträgt 8% pro Jahr.
Diese angegebene Beschreibung bildet die „ Nullhypothese (H 0 ) “ und wird davon ausgegangen , um wahr zu sein – die Art und Weise ein Angeklagte in einem Gerichtsverfahren als unschuldig zu gelten, bis vor Gericht präsentiert durch den Beweis schuldig erwiesen. In ähnlicher Weise beginnt das Testen von Hypothesen mit der Angabe und Annahme einer „ Nullhypothese “, und dann bestimmt der Prozess, ob die Annahme wahrscheinlich wahr oder falsch ist.
Der wichtige Punkt ist, dass wir die Nullhypothese testen, da Zweifel an ihrer Gültigkeit bestehen. Alle Informationen, die gegen die angegebene Nullhypothese verstoßen, werden in der Alternativhypothese (H 1 ) erfasst . Für die obigen Beispiele lautet die alternative Hypothese:
- Studenten punkten einen Durchschnitt, der ist nicht gleich 7.
- Die jährliche Rendite des Investmentfonds beträgt nicht 8% pro Jahr.
Mit anderen Worten ist die alternative Hypothese ein direkter Widerspruch zur Nullhypothese.
Wie in einem Prozess geht die Jury von der Unschuld des Angeklagten aus (Nullhypothese). Der Staatsanwalt muss das Gegenteil beweisen (alternative Hypothese). Ebenso muss der Forscher beweisen, dass die Nullhypothese entweder wahr oder falsch ist. Wenn der Staatsanwalt die alternative Hypothese nicht beweist, muss die Jury den Angeklagten gehen lassen (basierend auf der Nullhypothese). In ähnlicher Weise wird angenommen, dass die Nullhypothese wahr ist, wenn der Forscher eine alternative Hypothese nicht beweist (oder einfach nichts tut).
Die Entscheidungskriterien müssen auf bestimmten Parametern von Datensätzen basieren.
Schritt 2: Legen Sie die Kriterien fest
Die Entscheidungskriterien müssen auf bestimmten Parametern von Datensätzen basieren, und hier kommt der Zusammenhang mit der Normalverteilung ins Spiel.
Gemäß dem Postulat der Standardstatistik zur Stichprobenverteilung ist „für jede Stichprobengröße n die Stichprobenverteilung von X̅ normal, wenn die Population X, aus der die Stichprobe gezogen wird, normal verteilt ist.“ Daher sind die Wahrscheinlichkeiten aller anderen möglichen Stichproben, die man auswählen könnte, normalverteilt.
Stellen Sie beispielsweise fest, ob die durchschnittliche tägliche Rendite einer an der XYZ-Börse notierten Aktie um den Neujahrstag mehr als 2% beträgt.
H 0 : Nullhypothese: Mittelwert = 2%
H 1 : Alternative Hypothese: Mittelwert> 2% (das wollen wir beweisen)
Nehmen Sie die Stichprobe (z. B. 50 von insgesamt 500 Aktien) und berechnen Sie den Mittelwert der Stichprobe.
Bei einer Normalverteilung liegen 95% der Werte innerhalb von zwei Standardabweichungen des Populationsmittelwerts. Diese Normalverteilung und zentrale Grenzwertannahme für den Probendatensatz ermöglicht es uns daher, 5% als Signifikanzniveau festzulegen. Dies ist sinnvoll, da unter dieser Annahme eine Wahrscheinlichkeit von weniger als 5% (100-95) besteht, dass Ausreißer auftreten, die über zwei Standardabweichungen vom Populationsmittelwert hinausgehen. Abhängig von der Art der Datensätze können andere Signifikanzniveaus bei 1%, 5% oder 10% angenommen werden. Für Finanzberechnungen (einschließlich Verhaltensfinanzierung) sind 5% die allgemein akzeptierte Grenze. Wenn wir Berechnungen finden, die über die üblichen zwei Standardabweichungen hinausgehen, haben wir einen starken Fall von Ausreißern, die die Nullhypothese ablehnen.
Grafisch wird es wie folgt dargestellt:
Wenn im obigen Beispiel der Mittelwert der Stichprobe viel größer als 2% ist (z. B. 3,5%), lehnen wir die Nullhypothese ab. Die alternative Hypothese (Mittelwert> 2%) wird akzeptiert, die bestätigt, dass die durchschnittliche tägliche Rendite der Aktien tatsächlich über 2% liegt.
Wenn jedoch der Mittelwert der Stichprobe wahrscheinlich nicht signifikant größer als 2% ist (und beispielsweise bei etwa 2,2% bleibt), können wir die Nullhypothese NICHT ablehnen. Die Herausforderung besteht darin, wie man sich für solche Fälle aus nächster Nähe entscheidet. Um aus ausgewählten Stichproben und Ergebnissen eine Schlussfolgerung zu ziehen, muss ein Signifikanzniveau bestimmt werden, das eine Schlussfolgerung über die Nullhypothese ermöglicht. Die alternative Hypothese ermöglicht die Festlegung des Signifikanzniveaus oder des Konzepts des „kritischen Werts“ für die Entscheidung über solche Fälle aus nächster Nähe.
Gemäß derStandarddefinition des Lehrbuchsist „ein kritischer Wert ein Grenzwert, der die Grenzen definiert, über die hinaus weniger als 5% der Stichprobenmittelwerte erhalten werden können, wenn die Nullhypothese wahr ist. Stichprobenmittelwerte, die über einen kritischen Wert hinaus erhalten werden, führen zu einer Entscheidung, die Nullhypothese abzulehnen. “ Wenn wir im obigen Beispiel den kritischen Wert als 2,1% definiert haben und der berechnete Mittelwert 2,2% beträgt, lehnen wir die ab Nullhypothese: Ein kritischer Wert legt eine klare Abgrenzung über Akzeptanz oder Ablehnung fest.
Schritt 3: Berechnen Sie die Statistik
Dieser Schritt beinhaltet die Berechnung der erforderlichen Zahl (en), die als Teststatistik bezeichnet werden (wie Mittelwert, Z-Score, p-Wert usw.), für die ausgewählte Stichprobe. (Wir werden in einem späteren Abschnitt darauf zurückkommen.)
Schritt 4: Erreichen Sie eine Schlussfolgerung
Entscheiden Sie sich mit den berechneten Werten für die Nullhypothese. Wenn die Wahrscheinlichkeit einer Probe Mittelwert von immer weniger als 5% ist, dann ist die Schlussfolgerung verwerfen die Nullhypothese. Andernfalls akzeptieren und behalten Sie die Nullhypothese bei.
Arten von Fehlern
In Bezug auf die korrekte Anwendbarkeit auf die gesamte Bevölkerung kann es vier mögliche Ergebnisse bei der stichprobenbasierten Entscheidungsfindung geben:
Die „richtigen“ Fälle sind diejenigen, in denen die Entscheidungen, die an den Stichproben getroffen wurden, wirklich auf die gesamte Bevölkerung anwendbar sind. Die Fehlerfälle treten auf, wenn man beschließt, die Nullhypothese auf der Grundlage der Stichprobenberechnungen beizubehalten (oder abzulehnen), diese Entscheidung jedoch nicht wirklich für die gesamte Bevölkerung gilt. Diese Fälle stellen Fehler vom Typ 1 ( Alpha ) und Typ 2 ( Beta ) dar, wie in der obigen Tabelle angegeben.
Durch Auswahl des richtigen kritischen Werts können die Alpha-Fehler vom Typ 1 beseitigt oder auf einen akzeptablen Bereich begrenzt werden.
Alpha bezeichnet den Fehler auf der Signifikanzstufe und wird vom Forscher bestimmt. Um das Standard-Signifikanz- oder Konfidenzniveau von 5% für Wahrscheinlichkeitsberechnungen beizubehalten, wird dieses bei 5% beibehalten.
Gemäß den geltenden Entscheidungsmaßstäben und Definitionen:
- „Dieses (Alpha) -Kriterium wird normalerweise auf 0,05 (a = 0,05) festgelegt, und wir vergleichen das Alpha-Niveau mit dem p-Wert. Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers vom Typ I weniger als 5% beträgt (p <0,05), entscheiden wir uns, die Nullhypothese abzulehnen. Andernfalls behalten wir die Nullhypothese bei. “
- Der für diese Wahrscheinlichkeit verwendete Fachbegriff ist derp-Wert. Es ist definiert als „die Wahrscheinlichkeit, ein Stichprobenergebnis zu erhalten, vorausgesetzt, der in der Nullhypothese angegebene Wert ist wahr. Der p-Wert zum Erhalten eines Stichprobenergebnisses wird mit dem Signifikanzniveau verglichen. „
- Ein Typ-II-Fehler oder Beta-Fehler ist definiert als die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese falsch beibehalten wird, obwohl sie tatsächlich nicht für die gesamte Population gilt.
Einige weitere Beispiele zeigen diese und andere Berechnungen.
Beispiel 1
Es gibt ein monatliches Einkommensinvestitionssystem, das variable monatliche Renditen verspricht. Ein Investor wird nur dann in ihn investieren, wenn ihm ein durchschnittliches monatliches Einkommen von 180 USD zugesichert wird. Der Anleger hat eine Stichprobe von 300 Monatsrenditen mit einem Mittelwert von 190 USD und einer Standardabweichung von 75 USD. Sollten sie in dieses System investieren?
Lassen Sie uns das Problem einrichten. Der Anleger wird in das System investieren, wenn ihm die vom Anleger gewünschte durchschnittliche Rendite von 180 USD zugesichert ist.
H 0 : Nullhypothese: Mittelwert = 180
H 1 : Alternative Hypothese: Mittelwert> 180
Methode 1: Kritischer Wertansatz
Identifizieren Sie einen kritischen Wert X L für den Stichprobenmittelwert, der groß genug ist, um die Nullhypothese abzulehnen – dh die Nullhypothese abzulehnen, wenn der Stichprobenmittelwert> = kritischer Wert X L ist
P (identifiziere einen Alpha-Fehler vom Typ I) = P (lehne H 0 ab, vorausgesetzt, H 0 ist wahr),
Dies würde erreicht werden, wenn der Stichprobenmittelwert die kritischen Grenzen überschreitet.
= P (vorausgesetzt, H 0 ist wahr) = alpha
Grafisch sieht es wie folgt aus:
Unter Alpha = 0,05 (dh 5% Signifikanzniveau), Z 0,05 = 1,645 (aus der Z-Tabelle oder der Normalverteilungstabelle)
=> X L = 180 + 1,645 * (75 / sqrt (300)) = 187,12
Da der Stichprobenmittelwert (190) größer als der kritische Wert (187,12) ist, wird die Nullhypothese verworfen, und die Schlussfolgerung lautet, dass die durchschnittliche monatliche Rendite tatsächlich über 180 USD liegt, sodass der Anleger in Betracht ziehen kann, in dieses System zu investieren.
Methode 2: Verwenden standardisierter Teststatistiken
Man kann auch den standardisierten Wert z verwenden.
Teststatistik, Z = (Stichprobenmittelwert – Populationsmittelwert) / (std-dev / sqrt (Anzahl der Stichproben).
Dann wird der Ablehnungsbereich wie folgt:
Z = (190 – 180) / (75 / sqrt (300)) = 2,309
Unser Ablehnungsbereich bei einem Signifikanzniveau von 5% ist Z> Z 0,05 = 1,645.
Da Z = 2,309 größer als 1,645 ist, kann die Nullhypothese mit einer ähnlichen Schlussfolgerung, die oben erwähnt wurde, zurückgewiesen werden.
Methode 3: P-Wert-Berechnung
Wir wollen P identifizieren (Stichprobenmittelwert> = 190, wenn Mittelwert = 180).
= P (Z> = (190-180) / (75 / sqrt (300))
= P (Z> = 2,309) = 0,0084 = 0,84%
Die folgende Tabelle, um auf p-Wert-Berechnungen zu schließen, kommt zu dem Schluss, dass es bestätigte Hinweise darauf gibt, dass die durchschnittliche monatliche Rendite höher als 180 ist:
Beispiel 2
Ein neuer Börsenmakler (XYZ) behauptet, dass seine Maklergebühren niedriger sind als die Ihres aktuellen Börsenmaklers (ABC). Daten, die von einem unabhängigen Research-Unternehmen zur Verfügung gestellt wurden, zeigen, dass der Mittelwert und der Standard-Dev aller ABC-Broker-Kunden 18 USD bzw. 6 USD betragen.
Es wird eine Stichprobe von 100 Kunden von ABC gezogen und die Maklergebühren werden mit den neuen Tarifen des XYZ-Maklers berechnet. Wenn der Mittelwert der Stichprobe 18,75 USD beträgt und std-dev derselbe ist (6 USD), kann auf den Unterschied in der durchschnittlichen Maklerrechnung zwischen ABC- und XYZ-Makler geschlossen werden?
H 0 : Nullhypothese: Mittelwert = 18
H 1 : Alternative Hypothese: Mittelwert <> 18 (Dies wollen wir beweisen.)
Ablehnungsbereich: Z <= – Z 2,5 und Z> = Z 2,5 (unter der Annahme eines Signifikanzniveaus von 5%, jeweils 2,5 auf beiden Seiten aufgeteilt).
Z = (Stichprobenmittelwert – Mittelwert) / (std-dev / sqrt (Anzahl der Stichproben))
= (18,75 – 18) / (6 / (sqrt (100)) = 1,25
Dieser berechnete Z-Wert liegt zwischen den beiden Grenzen, die definiert sind durch:
– Z 2,5 = -1,96 und Z 2,5 = 1,96.
Dies kommt zu dem Schluss, dass es nicht genügend Beweise gibt, um darauf schließen zu können, dass zwischen den Raten Ihres bestehenden Brokers und des neuen Brokers ein Unterschied besteht.
Alternativ ist der p-Wert = P (Z <-1,25) + P (Z> 1,25)
= 2 * 0,1056 = 0,2112 = 21,12%, was größer als 0,05 oder 5% ist, was zu derselben Schlussfolgerung führt.
Grafisch wird es wie folgt dargestellt:
Kritikpunkte für die hypothetische Testmethode:
- Eine statistische Methode, die auf Annahmen basiert
- Fehleranfällig, wie in Bezug auf Alpha- und Betafehler beschrieben
- Die Interpretation des p-Werts kann mehrdeutig sein und zu verwirrenden Ergebnissen führen
Das Fazit
Das Testen von Hypothesen ermöglicht es einem mathematischen Modell, einen Anspruch oder eine Idee mit einem bestimmten Konfidenzniveau zu validieren. Wie die meisten statistischen Tools und Modelle unterliegt es jedoch einigen Einschränkungen. Die Verwendung dieses Modells für finanzielle Entscheidungen sollte unter Berücksichtigung aller Abhängigkeiten kritisch betrachtet werden. Für ähnliche Analysen sollten auch alternative Methoden wie die Bayes’sche Inferenz untersucht werden.