Hypothesentest im Finanzwesen: Konzept und Beispiele

Die zentralen Thesen

• Das Testen von Hypothesen ist ein mathematisches Werkzeug zur Bestätigung eines finanziellen oder geschäftlichen Anspruchs oder einer Idee.
• Das Testen von Hypothesen ist nützlich für Anleger, die versuchen zu entscheiden, in was sie investieren möchten und ob das Instrument wahrscheinlich eine zufriedenstellende Rendite liefert.
• Trotz der Existenz unterschiedlicher Methoden zum Testen von Hypothesen werden dieselben vier Schritte verwendet: Definieren Sie die Hypothese, legen Sie die Kriterien fest, berechnen Sie die Statistik und kommen Sie zu einer Schlussfolgerung.
• Dieses mathematische Modell weist, wie die meisten statistischen Werkzeuge und Modelle, Einschränkungen auf und ist anfällig für bestimmte Fehler, sodass Anleger auch andere Modelle in Verbindung mit diesem Modell in Betracht ziehen müssen

In diesem Artikel wird davon ausgegangen, dass die Leser mit den Konzepten einer Normalverteilungstabelle, einer Formel, einem p-Wert und den damit verbundenen Grundlagen der Statistik vertraut sind.

Es gibt verschiedene Methoden zum Testen von Hypothesen, aber die gleichen vier grundlegenden Schritte sind involviert:

Schritt 1: Definieren Sie die Hypothese

Normalerweise wird der gemeldete Wert (oder die Anspruchsstatistik) als Hypothese angegeben und als wahr angenommen. Für die obigen Beispiele lautet die Hypothese:

• Beispiel A: Schüler der Schule erzielen in Prüfungen durchschnittlich 7 von 10 Punkten.
• Beispiel B: Die jährliche Rendite des Investmentfonds beträgt 8% pro Jahr.

Die Entscheidungskriterien müssen auf bestimmten Parametern von Datensätzen basieren.

Schritt 2: Legen Sie die Kriterien fest

Die Entscheidungskriterien müssen auf bestimmten Parametern von Datensätzen basieren, und hier kommt der Zusammenhang mit der Normalverteilung ins Spiel.

Gemäß dem Postulat der Standardstatistik  zur Stichprobenverteilung ist „für jede Stichprobengröße n die Stichprobenverteilung von X̅ normal, wenn die Population X, aus der die Stichprobe gezogen wird, normal verteilt ist.“ Daher sind die Wahrscheinlichkeiten aller anderen möglichen Stichproben, die man auswählen könnte, normalverteilt.

Stellen Sie beispielsweise fest, ob die durchschnittliche tägliche Rendite einer an der XYZ-Börse notierten Aktie um den Neujahrstag mehr als 2% beträgt.

H 0 : Nullhypothese: Mittelwert = 2%

H 1 : Alternative Hypothese: Mittelwert> 2% (das wollen wir beweisen)

Nehmen Sie die Stichprobe (z. B. 50 von insgesamt 500 Aktien) und berechnen Sie den Mittelwert der Stichprobe.

Bei einer Normalverteilung liegen 95% der Werte innerhalb von zwei Standardabweichungen des Populationsmittelwerts. Diese Normalverteilung und zentrale Grenzwertannahme für den Probendatensatz ermöglicht es uns daher, 5% als Signifikanzniveau festzulegen. Dies ist sinnvoll, da unter dieser Annahme eine Wahrscheinlichkeit von weniger als 5% (100-95) besteht, dass Ausreißer auftreten, die über zwei Standardabweichungen vom Populationsmittelwert hinausgehen. Abhängig von der Art der Datensätze können andere Signifikanzniveaus bei 1%, 5% oder 10% angenommen werden. Für Finanzberechnungen (einschließlich Verhaltensfinanzierung) sind 5% die allgemein akzeptierte Grenze. Wenn wir Berechnungen finden, die über die üblichen zwei Standardabweichungen hinausgehen, haben wir einen starken Fall von Ausreißern, die die Nullhypothese ablehnen. 

Grafisch wird es wie folgt dargestellt:

Wenn im obigen Beispiel der Mittelwert der Stichprobe viel größer als 2% ist (z. B. 3,5%), lehnen wir die Nullhypothese ab. Die alternative Hypothese (Mittelwert> 2%) wird akzeptiert, die bestätigt, dass die durchschnittliche tägliche Rendite der Aktien tatsächlich über 2% liegt.

Wenn jedoch der Mittelwert der Stichprobe wahrscheinlich nicht signifikant größer als 2% ist (und beispielsweise bei etwa 2,2% bleibt), können wir die Nullhypothese NICHT ablehnen. Die Herausforderung besteht darin, wie man sich für solche Fälle aus nächster Nähe entscheidet. Um aus ausgewählten Stichproben und Ergebnissen eine Schlussfolgerung zu ziehen, muss ein Signifikanzniveau bestimmt werden, das eine Schlussfolgerung über die Nullhypothese ermöglicht. Die alternative Hypothese ermöglicht die Festlegung des Signifikanzniveaus oder des Konzepts des „kritischen Werts“ für die Entscheidung über solche Fälle aus nächster Nähe.

Gemäß derStandarddefinition des Lehrbuchsist „ein kritischer Wert ein Grenzwert, der die Grenzen definiert, über die hinaus weniger als 5% der Stichprobenmittelwerte erhalten werden können, wenn die Nullhypothese wahr ist. Stichprobenmittelwerte, die über einen kritischen Wert hinaus erhalten werden, führen zu einer Entscheidung, die Nullhypothese abzulehnen. “ Wenn wir im obigen Beispiel den kritischen Wert als 2,1% definiert haben und der berechnete Mittelwert 2,2% beträgt, lehnen wir die ab Nullhypothese: Ein kritischer Wert legt eine klare Abgrenzung über Akzeptanz oder Ablehnung fest.

Schritt 3: Berechnen Sie die Statistik

Dieser Schritt beinhaltet die Berechnung der erforderlichen Zahl (en), die als Teststatistik bezeichnet werden (wie Mittelwert, Z-Score, p-Wert usw.), für die ausgewählte Stichprobe. (Wir werden in einem späteren Abschnitt darauf zurückkommen.)

Schritt 4: Erreichen Sie eine Schlussfolgerung

Entscheiden Sie sich mit den berechneten Werten für die Nullhypothese. Wenn die Wahrscheinlichkeit einer Probe Mittelwert von immer weniger als 5% ist, dann ist die Schlussfolgerung verwerfen die Nullhypothese. Andernfalls akzeptieren und behalten Sie die Nullhypothese bei.

Arten von Fehlern

In Bezug auf die korrekte Anwendbarkeit auf die gesamte Bevölkerung kann es vier mögliche Ergebnisse bei der stichprobenbasierten Entscheidungsfindung geben:

Die „richtigen“ Fälle sind diejenigen, in denen die Entscheidungen, die an den Stichproben getroffen wurden, wirklich auf die gesamte Bevölkerung anwendbar sind. Die Fehlerfälle treten auf, wenn man beschließt, die Nullhypothese auf der Grundlage der Stichprobenberechnungen beizubehalten (oder abzulehnen), diese Entscheidung jedoch nicht wirklich für die gesamte Bevölkerung gilt. Diese Fälle stellen Fehler vom Typ 1 ( Alpha ) und Typ 2 ( Beta ) dar, wie in der obigen Tabelle angegeben.

Durch Auswahl des richtigen kritischen Werts können die Alpha-Fehler vom Typ 1 beseitigt oder auf einen akzeptablen Bereich begrenzt werden.

Alpha bezeichnet den Fehler auf der Signifikanzstufe und wird vom Forscher bestimmt. Um das Standard-Signifikanz- oder Konfidenzniveau von 5% für Wahrscheinlichkeitsberechnungen beizubehalten, wird dieses bei 5% beibehalten.

Gemäß den geltenden Entscheidungsmaßstäben und Definitionen:

• „Dieses (Alpha) -Kriterium wird normalerweise auf 0,05 (a = 0,05) festgelegt, und wir vergleichen das Alpha-Niveau mit dem p-Wert. Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers vom Typ I weniger als 5% beträgt (p <0,05), entscheiden wir uns, die Nullhypothese abzulehnen. Andernfalls behalten wir die Nullhypothese bei. “
• Der für diese Wahrscheinlichkeit verwendete Fachbegriff ist derp-Wert. Es ist definiert als „die Wahrscheinlichkeit, ein Stichprobenergebnis zu erhalten, vorausgesetzt, der in der Nullhypothese angegebene Wert ist wahr. Der p-Wert zum Erhalten eines Stichprobenergebnisses wird mit dem Signifikanzniveau verglichen. „
• Ein Typ-II-Fehler oder Beta-Fehler ist definiert als die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese falsch beibehalten wird, obwohl sie tatsächlich nicht für die gesamte Population gilt.

Methode 1: Kritischer Wertansatz

Identifizieren Sie einen kritischen Wert X L für den Stichprobenmittelwert, der groß genug ist, um die Nullhypothese abzulehnen – dh die Nullhypothese abzulehnen, wenn der Stichprobenmittelwert> = kritischer Wert X L ist

P (identifiziere einen Alpha-Fehler vom Typ I) = P (lehne H 0 ab,  vorausgesetzt, H 0  ist wahr),

Dies würde erreicht werden, wenn der Stichprobenmittelwert die kritischen Grenzen überschreitet.

= P (vorausgesetzt, H 0  ist wahr) = alpha

Grafisch sieht es wie folgt aus:

Unter Alpha = 0,05 (dh 5% Signifikanzniveau), Z 0,05  = 1,645 (aus der Z-Tabelle oder der Normalverteilungstabelle)

=> X L  = 180 + 1,645 * (75 / sqrt (300)) = 187,12

Da der Stichprobenmittelwert (190) größer als der kritische Wert (187,12) ist, wird die Nullhypothese verworfen, und die Schlussfolgerung lautet, dass die durchschnittliche monatliche Rendite tatsächlich über 180 USD liegt, sodass der Anleger in Betracht ziehen kann, in dieses System zu investieren.