Umgehung der Grenzen von Black-Scholes

Der mathematische oder  quantitative  modellbasierte Handel gewinnt trotz schwerwiegender Misserfolge wie der Finanzkrise von 2008-2009, die auf die fehlerhafte Verwendung von Handelsmodellen zurückzuführen war, weiter an Dynamik. Komplexe Handelsinstrumente wie  Derivate werden  immer beliebter, ebenso wie die zugrunde liegenden mathematischen Bewertungsmodelle. Obwohl kein Modell perfekt ist, kann die Kenntnis von Einschränkungen dabei helfen, fundierte Handelsentscheidungen zu treffen, Ausreißer abzulehnen und kostspielige Fehler zu vermeiden, die zu großen Verlusten führen können.

Es gibt Einschränkungen beim  Black-Scholes  Modell, das eines der beliebtesten Modelle für die  Preisgestaltung von Optionen ist. Einige der Standardeinschränkungen des Black-Scholes-Modells sind:

• Nimmt konstante Werte für die  risikofreie Rendite  und  Volatilität  über die Optionslaufzeit an – keiner davon kann in der realen Welt konstant bleiben
• Geht von kontinuierlichem und kostenlosem Handel aus – ohne Berücksichtigung des Liquiditätsrisikos und der Maklergebühren
• Geht davon aus, dass Aktienkurse einem lognormalen Muster folgen, z. B. einem  Random Walk  (oder einem geometrischen Brownschen Bewegungsmuster) – wobei große Kursschwankungen ignoriert werden, die in der realen Welt häufiger beobachtet werden
• Geht davon aus, dass keine  Dividende ausgeschüttet wird  – ohne die Auswirkungen auf die Bewertungsänderung
• Nimmt keine  vorzeitige Ausübung an  (z. B. passt nur auf europäische Optionen) – das Modell ist für amerikanische Optionen ungeeignet American
• Andere Annahmen, bei denen es sich um betriebliche Probleme handelt, umfassen die Annahme, dass für Leerverkäufe keine Straf- oder Margenanforderungen, keine  Arbitrage  Möglichkeiten und keine Steuern gelten – in Wirklichkeit trifft all dies nicht zu. entweder wird zusätzliches Kapital benötigt oder das realistische Gewinnpotenzial wird verringert

Auswirkungen von Black-Scholes-Einschränkungen

In diesem Abschnitt wird beschrieben, wie sich die oben genannten Einschränkungen auf den täglichen Handel auswirken und ob Vorbeugungs- oder Abhilfemaßnahmen ergriffen werden können. Neben anderen Problemen besteht die größte Einschränkung des Black-Scholes-Modells darin, dass es zwar einen berechneten Preis einer Option liefert, aber von den zugrunde liegenden Faktoren abhängig bleibt

• als bekannt vorausgesetzt
• davon ausgegangen,  dass sie während der Laufzeit der Option konstant bleibt 

Leider trifft keines der oben Genannten in der realen Welt zu. Der zugrunde liegende Aktienkurs, die Volatilität, der risikofreie Zinssatz und die Dividende sind unbekannt und können sich in kurzer Zeit mit hoher Varianz ändern. Dies führt zu hohen Schwankungen der Optionspreise. Es bietet erfahrenen Optionshändlern (oder solchen mit Glück auf ihrer Seite) erhebliche Gewinnchancen. Aber es geht auf Kosten der Kollegen-vor allem Neulinge oder unwissend Spekulanten oder punters -Wer oft von den Beschränkungen nicht bewusst sind und auf der Empfangsseite.

Es müssen nicht nur Änderungen in großem Umfang sein. auch die Häufigkeit solcher Veränderungen kann zu Problemen führen. Große Preisänderungen werden in der realen Welt häufiger beobachtet, als dies vom Black-Scholes-Modell erwartet und impliziert wird. Diese höhere Volatilität des zugrunde liegenden Aktienkurses führt zu erheblichen Schwankungen der Optionsbewertungen. Dies führt oft zu katastrophalen Ergebnissen, insbesondere für Verkäufer von Short-Optionen, die aufgrund des Mangels an Margin-Geld gezwungen sein können, Positionen mit großen Verlusten zu schließen oder die amerikanischen Optionen bei Ausübung durch den Käufer zugewiesen bekommen. Um hohe Verluste zu vermeiden, sollten Optionshändler die sich ändernde Volatilität ständig im Auge behalten und mit vordefinierten Stop-Loss Levels vorbereitet sein. Die modellbasierte Bewertung sollte durch realistische und vorher festgelegte Stop-Loss-Level ergänzt werden. Intermittierende Abhilfealternativen umfassen auch die Vorbereitung auf Mittelungstechniken ( Dollar-Kosten und -Wert ), je nach Situation und Strategien.

Aktienkurse zeigen nie lognormale Renditen, wie von Black-Scholes angenommen. Verteilungen in der realen Welt sind verzerrt. Diese Diskrepanz führt dazu, dass das Black-Scholes-Modell eine Option erheblich unter- oder überbewertet. Trader, die mit solchen Implikationen nicht vertraut sind, können am Ende überteuerte oder unterbewertete Optionen kaufen und sich dadurch einem Verlust aussetzen, wenn sie blind dem Black-Scholes-Modell folgen. Als vorbeugende Maßnahme sollten Händler Volatilitätsänderungen und Marktentwicklungen im Auge behalten – versuchen, zu kaufen, wenn die Volatilität in einem niedrigeren Bereich liegt (z hohe Reichweite, um die maximale Optionsprämie zu erhalten.

Eine weitere Implikation der geometrischen Brownschen Bewegung ist, dass die Volatilität während der Optionslaufzeit konstant bleiben sollte. ITM, ATM und OTM Optionen ein ähnliches Volatilitätsverhalten aufweisen sollten. In der Realität wird jedoch die Volatilitätsversatzkurve (anstelle der  Volatilitätslächelkurve ) beobachtet, bei der eine höhere implizite Volatilität für niedrigere Ausübungspreise wahrgenommen wird. Black-Scholes überteuert ATM-Optionen und unterschätzt tiefe ITM- und tiefe OTM-Optionen. Aus diesem Grund wird der meiste Handel (und damit das höchste Open Interest) für ATM-Optionen und nicht für ITM und OTM beobachtet. Leerverkäufer erhalten den maximalen Zeitverfallswert für ATM-Optionen (was zu der höchsten Optionsprämie führt), verglichen mit dem für ITM- und OTM-Optionen, von denen sie versuchen, Kapital zu schlagen. Händler sollten vorsichtig sein und vermeiden, OTM- und ITM-Optionen mit hohen Zeitverfallwerten (Teil der Optionsprämie = Innerer Wert +Zeitverfallswert) zu kaufen. In ähnlicher Weise verkaufen gebildete Händler Geldautomatenoptionen, um bei hoher Volatilität höhere Prämien zu erhalten. Käufer sollten nach Kaufoptionen suchen, wenn die Volatilität niedrig ist, was zu niedrigen zu zahlenden Prämien führt.

Kurz gesagt, Preisbewegungen werden mit absoluter Gültigkeit angenommen und es besteht keine Beziehung oder Abhängigkeit von anderen Marktentwicklungen oder Segmenten. Zum Beispiel können die Auswirkungen des Marktcrashs 2008-09, die dem Platzen der Immobilienblase zugeschrieben werden, der zu einem Zusammenbruch des Gesamtmarktes führte, im Black-Scholes-Modell nicht berücksichtigt werden (und möglicherweise in keinem mathematischen Modell). Aber es führte zu extremen Ereignissen mit geringer Wahrscheinlichkeit von starken Kursrückgängen, die den Optionshändlern massive Verluste verursachten. Die Forex und Zinsmärkte haben die erwarteten Kursmuster in dieser Krisenzeit folgen, aber nicht von den Auswirkungen ganz abgeschirmt könnte bleiben.

Das Black-Scholes-Modell berücksichtigt keine Änderungen aufgrund von Dividenden, die auf Aktien gezahlt werden. Unter der Annahme, dass alle anderen Faktoren gleich bleiben, wird eine Aktie mit einem Kurs von 100 US-Dollar und einer Dividende von 5 US-Dollar am Dividenden- Ex-Tag auf 95 US-Dollar sinken. Optionsverkäufer nutzen solche Gelegenheiten, um kurz vor dem Ex-Tag Short-Call-Optionen/Long-Put-Optionen zu schließen und die Positionen am Ex-Tag zu quadrieren, was zu Gewinnen führt. Händler, die den Black-Scholes-Preisen folgen, sollten sich dieser Auswirkungen bewusst sein und alternative Modelle wie die  Binomial-Preisgestaltung verwenden, die Änderungen der Auszahlung aufgrund von Dividendenzahlungen berücksichtigen können. Andernfalls sollte das Black-Scholes-Modell nur für den Handel mit nicht dividendenausschüttenden europäischen Aktien verwendet werden.

Das Black-Scholes-Modell berücksichtigt nicht die vorzeitige Ausübung amerikanischer Optionen. In der Realität qualifizieren sich nur wenige Optionen (z. B. Long-Put Positionen) für frühe Übungen, basierend auf den Marktbedingungen. Trader sollten es vermeiden, Black-Scholes für amerikanische Optionen zu verwenden oder nach Alternativen wie dem Binomial-Preismodell zu suchen.

Warum ist Black-Scholes so weit verbreitet?

• Es passt sehr gut zur beliebten Delta-Hedging Strategie für europäische Optionen für nicht dividendenberechtigte Aktien.
• Es ist einfach und bietet einen vorgefertigten Wert.
• Insgesamt neigen die Preise dazu, sich an die von Black-Scholes berechneten zu kalibrieren, wenn der gesamte (oder ein Großteil des) Marktes ihm folgt.

Die Quintessenz

Das blinde Befolgen eines mathematischen oder quantitativen Handelsmodells führt zu unkontrolliertem Risiko. Finanzielle Ausfälle von 2008/09 sind auf die fehlerhafte Verwendung von Handelsmodellen zurückzuführen. Trotz der Herausforderungen bleibt die Modellnutzung dank der sich ständig weiterentwickelnden Märkte mit einer Vielzahl von Instrumenten und dem Eintritt neuer Teilnehmer bestehen. Modelle werden weiterhin die primäre Grundlage für den Handel sein, insbesondere für komplexe Instrumente wie Derivate. Ein vorsichtiger Ansatz mit klaren Erkenntnissen über die Grenzen eines Modells, deren Auswirkungen, verfügbare Alternativen und Abhilfemaßnahmen kann zu einem sicheren und profitablen Handel führen.