Kontinuierlicher Zinseszins
Zinseszinsen sind Zinsen, die auf das ursprüngliche Kapital und auch auf die aufgelaufenen Zinsen früherer Perioden einer Einlage oder eines Darlehens berechnet werden . Die Wirkung des Zinseszinses hängt von der Häufigkeit ab.
Gehen Sie von einem jährlichen Zinssatz von 12% aus. Wenn wir das Jahr mit 100 USD beginnen und am Ende des Jahres nur einmal zusammensetzen, wächst der Kapitalbetrag auf 112 USD (100 USD x 1,12 USD = 112 USD). Zinsen, die nur auf den Kapitalbetrag angerechnet werden, werden als einfache Zinsen bezeichnet. Wenn wir stattdessen jeden Monat mit 1 % aufstocken, haben wir am Ende des Jahres mehr als 112 US-Dollar. Das heißt, 100 x 1,01 ^ 12 entsprechen 112,68 $. (Es ist höher, weil wir häufiger zusammengesetzt haben.)
Kontinuierlich zusammengesetzte Renditen setzen sich am häufigsten zusammen. Continuous Compounding ist die mathematische Grenze, die der Zinseszins erreichen kann. Dies ist ein extremer Fall der Aufzinsung, da die meisten Zinsen monatlich, vierteljährlich oder halbjährlich aufgezinst werden.
Die zentralen Thesen
- Einfache Zinsen gelten nur für den Kapitalbetrag und nicht für aufgelaufene Zinsen.
- Zinseszinsen sind Zinsen, die auf den Kapitalbetrag und die zuvor angewendeten Zinsen anfallen.
- Die Wirkung des Zinseszinses hängt davon ab, wie häufig er angewendet wird.
- Bei Anleihen ist die Anleiheäquivalentrendite die erwartete jährliche Rendite.
- Kontinuierlich zusammengesetzte Renditen skalieren über mehrere Zeiträume.
- Die Zinsaufzinsung in ihrer höchsten Häufigkeit wird als kontinuierliche Aufzinsung bezeichnet.
Halbjahresrendite
Sehen wir uns zunächst eine möglicherweise verwirrende Anleihe-Äquivalent-Rendite (oder Anleihe-Äquivalent-Basis). Das bedeutet, dass bei einer halbjährlichen Rendite einer Anleihe von 6 % die entsprechende Rendite einer Anleihe 12 % beträgt.
Die Halbjahresrendite wird einfach verdoppelt. Dies ist möglicherweise verwirrend, da die effektive Rendite einer Anleihe mit einer Anleihe von 12 % mit Anleiheäquivalent 12,36 % beträgt (dh 1,06^2 = 1,1236). Die Verdoppelung der Halbjahresrendite ist nur eine Konvention zur Namensgebung von Anleihen. Wenn wir also von einer halbjährlich aufgezinsten Anleihe von 8 % lesen, gehen wir davon aus, dass sich dies auf eine halbjährliche Rendite von 4 % bezieht.
Vierteljährliche, monatliche und tägliche Renditen
Lassen Sie uns nun über höhere Frequenzen sprechen. Wir gehen weiterhin von einem jährlichen Marktzins von 12 % aus. Nach den Konventionen zur Namensgebung von Anleihen bedeutet dies einen halbjährlichen Zinssatz von 6%. Wir können nun den vierteljährlichen Zinseszins als Funktion des Marktzinssatzes ausdrücken.
Bei einem jährlichen Marktzins ( r) ergibt sich der vierteljährliche Zinssatz ( r q ) wie folgt:
Für unser Beispiel, bei dem der jährliche Marktzinssatz 12% beträgt, beträgt der vierteljährliche Zinssatz 11,825%:
rq=4
rq=4[(2
Eine ähnliche Logik gilt für die monatliche Aufzinsung. Der monatliche Zinseszins ( r m ) ist hier als Funktion des jährlichen Marktzinssatzes ( r ) angegeben:
Der tägliche Zinseszins ( d) als Funktion des Marktzinses ( r) ergibt sich aus:
rd=360
rd=360[(2
So funktioniert Continuous Compounding
Wenn wir die Compound-Frequenz bis an ihre Grenze erhöhen, wird kontinuierlich zusammengesetzt. Während dies möglicherweise nicht praktikabel ist, bietet der kontinuierlich zusammengesetzte Zinssatz wunderbar günstige Eigenschaften. Es stellt sich heraus, dass der kontinuierlich zusammengesetzte Zinssatz gegeben ist durch:
Bei kleineren Zeitschritten ist die Höhe der verdienten Zinsen unendlich klein.
Ln() ist der natürliche Logarithmus und in unserem Beispiel beträgt die kontinuierlich verzinste Rate daher:
rcÖneintichneinduÖduso=ln(1+0.12)=ln(1.12)≅11.33%\begin{aligned} &r_{continuous} = \ln ( 1 + 0.12 ) = \ln (1.12) \cong 11.33\% \\ \end{aligned}rcontinuous=ln(1+0.12)=ln(1.12)≅11.33%
Wir kommen an die gleiche Stelle, indem wir den natürlichen Logarithmus dieses Verhältnisses nehmen: den Endwert dividiert durch den Startwert.
rcÖneintichneinduÖduso=ln(ValueEndValueStart)=ln(112100)≅11.33%\begin{ausgerichtet} &r_{fortlaufend} = \ln \left ( \frac { \text{Wert}_\text{Ende} }{ \text{Wert}_\text{Start} } \right ) = \ln \ links ( \frac { 112 }{ 100 } \right ) \cong 11.33\% \\ \end{ausgerichtet}rcontinuous=lnein(WertStart
Letzteres ist bei der Berechnung der kontinuierlich aufgezinsten Rendite einer Aktie üblich. Wenn die Aktie beispielsweise von 10 US-Dollar an einem Tag auf 11 US-Dollar am nächsten Tag springt, ergibt sich die kontinuierlich aufgezinste Tagesrendite wie folgt:
rcÖneintichneinduÖduso=ln(ValueEndValueStart)=ln($11$10)≅9.53%\begin{ausgerichtet} &r_{fortlaufend} = \ln \left ( \frac { \text{Wert}_\text{Ende} }{ \text{Wert}_\text{Start} } \right ) = \ln \ left (\ frac {\ $ 11} {\ $ 10} \ right) \ cong 9.53 \% \\ \ end {align}rcontinuous=lnein(WertStart
Was ist so toll an der kontinuierlich zusammengesetzten Rate (oder Rendite), die wir mit r c bezeichnen werden? Erstens ist es einfach, es nach vorne zu skalieren. Bei einem Kapital von (P) ergibt sich unser Endvermögen über (n) Jahre wie folgt:
w=P.ercnein\begin{aligned} &w = Pe ^ {r_c n} \\ \end{aligned}w=Percnein
Beachten Sie, dass e die Exponentialfunktion ist. Wenn wir beispielsweise mit 100 US-Dollar beginnen und über drei Jahre hinweg kontinuierlich 8% aufstocken, ergibt sich das endgültige Vermögen wie folgt:
w=$100e(0.08)(3)=$127.12\begin{aligned} &w = \$100e ^ {(0.08)(3)} = \$127.12 \\ \end{aligned}w=$100e(0.08)(3)=$127.12
Die Diskontierung auf den Barwert (PV) ist lediglich eine umgekehrte Aufzinsung, so dass der Barwert eines zukünftigen Wertes (F), der kontinuierlich mit einer Rate von ( r c ) aufgezinst wird, gegeben ist durch:
PV of F received in (n) years=Fercnein=Fe−rcnein\begin{aligned} &\text{PV von F erhalten in (n) Jahren} = \frac { F }{ e ^ {r_c n} } = Fe ^ { -r_c n} \\ \end{aligned}PV von F erhalten in (n) Jahren=ercnein
Wenn Sie beispielsweise in drei Jahren 100 US-Dollar zu einem kontinuierlichen Zinssatz von 6% erhalten, ergibt sich der Barwert wie folgt:
PV=Fe−rcnein=($100)e−(0.06)(3)=$100e−0.18≅$83.53\ begin {align} & \ text {PV} = Fe ^ { -r_c n} = (\ $ 100) e ^ { – (0.06) (3)} = \ $ 100 e ^ { -0.18} \ cong \ $ 83.53 \\ \end{ausgerichtet}PV=Fe−rcnein=($100)e−(0.06)(3)=$100e−0.18≅$83.53
Skalierung über mehrere Zeiträume
Die praktische Eigenschaft der kontinuierlich kumulierten Renditen besteht darin, dass sie über mehrere Zeiträume skaliert werden. Wenn die Rendite für die erste Periode 4% beträgt und die Rendite für die zweite Periode 3% beträgt, beträgt die Rendite für zwei Perioden 7%. Stellen Sie sich vor, wir beginnen das Jahr mit 100 US-Dollar, die am Ende des ersten Jahres auf 120 US-Dollar und dann am Ende des zweiten Jahres auf 150 US-Dollar anwachsen. Die kontinuierlich aufgezinsten Renditen betragen 18,23 % bzw. 22,31 %.
ln(120100)≅18.23%\begin{aligned} &\ln \left ( \frac { 120 }{ 100 } \right ) \cong 18.23\% \\ \end{aligned}lnein(100
ln(150120)≅22.31%\begin{aligned} &\ln \left ( \frac { 150 }{ 120 } \right ) \cong 22.31\% \\ \end{aligned}lnein(120
Wenn wir diese einfach addieren, erhalten wir 40,55%. Dies ist die Zwei-Perioden-Rendite:
ln(150100)≅40.55%\begin{aligned} &\ln \left ( \frac { 150 }{ 100 } \right ) \cong 40.55\% \\ \end{aligned}lnein(100
Technisch gesehen ist die kontinuierliche Rendite zeitkonsistent. Zeitkonsistenz ist eine technische Zufallsvariable ist, wir möchten, dass Mehrperioden-Zufallsvariablen auch normalverteilt sind. Darüber hinaus ist die kontinuierlich kumulierte Rendite über mehrere Perioden normal verteilt (im Gegensatz beispielsweise zu einer einfachen prozentualen Rendite).
Häufig gestellte Fragen zur kontinuierlichen Compoundierung
Was bedeutet es, kontinuierlich zusammengesetzt zu werden?
Kontinuierlich zu verzinsen bedeutet, dass es keine Begrenzung gibt, wie oft Zinsen aufgezinst werden können. Eine kontinuierliche Aufzinsung kann unendlich oft vorkommen, was bedeutet, dass ein Guthaben jederzeit verzinst wird.
Bedeutet kontinuierlich zusammengesetzt täglich?
Kontinuierlich zusammengesetzt bedeutet, dass das Interesse jeden Moment selbst in der kleinsten quantifizierbaren Zeitspanne zusammensetzt. Daher tritt die Verbindung kontinuierlich häufiger als täglich auf.
Warum wird kontinuierliche Compoundierung verwendet?
Continuous Compounding wird verwendet, um zu zeigen, wie viel ein Guthaben verdienen kann, wenn die Zinsen ständig auflaufen. Anleger können berechnen, wie viel sie von einer Anlage erwarten, die einen kontinuierlich steigenden Zinssatz erwirtschaftet.
Was ist der Unterschied zwischen diskreter und kontinuierlicher Compoundierung?
Bei der diskreten Aufzinsung werden Zinsen zu bestimmten Zeiten angewendet, z. B. täglich, monatlich, vierteljährlich oder jährlich. Die diskrete Aufzinsung definiert explizit die Zeit, in der Zinsen angewendet werden. Kontinuierliche Aufzinsung wird zu jedem Zeitpunkt kontinuierlich verzinst.
Was ist der Unterschied zwischen jährlicher und kontinuierlicher Aufzinsung?
Eine jährliche Aufzinsung bedeutet, dass der Kapitalbetrag und die zuvor aufgelaufenen Zinsen jährlich verzinst werden; Kontinuierliche Aufzinsung bedeutet hingegen, dass das Kapital und die kumulierten Zinsen zu jedem Zeitpunkt verzinst werden. Es gibt keinen Bruchteil der Zeit, in der das Interesse beim kontinuierlichen Compoundieren nicht angewendet wird.
Die Quintessenz
Wir können jährliche Zinssätze in halbjährliche, vierteljährliche, monatliche oder tägliche Zinssätze (oder Renditen) umformulieren. Die häufigste Compoundierung ist die kontinuierliche Compoundierung, bei der wir einen natürlichen Logarithmus und eine Exponentialfunktion verwenden müssen, die aufgrund ihrer wünschenswerten Eigenschaften im Finanzwesen häufig verwendet werden. Das kontinuierliche Compoundieren lässt sich leicht über mehrere Zeiträume hinweg skalieren und ist zeitkonsistent.