Boolsche Algebra
Was ist Boolesche Algebra?
Die Boolesche Algebra ist eine Abteilung der Mathematik, die sich mit Operationen an logischen Werten befasst und binäre Variablen enthält. Die Boolesche Algebra geht auf ein Buch des Mathematikers George Boole aus dem Jahr 1854 zurück.
Das Unterscheidungsmerkmal der Booleschen Algebra besteht darin, dass sie sich nur mit dem Studium binärer Variablen befasst. Am häufigsten werden boolesche Variablen mit den möglichen Werten 1 („true“) oder 0 („false“) dargestellt. Variablen können auch komplexere Interpretationen haben, beispielsweise in der Mengenlehre. Die Boolesche Algebra wird auch als binäre Algebra bezeichnet.
Die zentralen Thesen
- Die Boolesche Algebra ist ein Zweig der Mathematik, der sich mit Operationen an logischen Werten mit binären Variablen befasst.
- Die booleschen Variablen werden als Binärzahlen dargestellt, um Wahrheiten darzustellen: 1 = wahr und 0 = falsch.
- Die elementare Algebra befasst sich mit numerischen Operationen, während sich die Boolesche Algebra mit logistischen Operationen befasst.
- Die Boolesche Algebra verwendet Konjunktion, Disjunktion und Negation im Gegensatz zu Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division.
- Die primäre moderne Verwendung der Booleschen Algebra liegt in Computerprogrammiersprachen.
- Im Finanzwesen wird die Boolesche Algebra in binomialen Optionspreismodellen verwendet, die dabei helfen, zu bestimmen, wann eine Option ausgeübt werden sollte.
Boolesche Algebra verstehen
Boolesche Algebra unterscheidet sich von elementarer Algebra, da letztere numerische Operationen und erstere logische Operationen behandeln. Die elementare Algebra wird mit grundlegenden mathematischen Funktionen wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division ausgedrückt, während sich die Boolesche Algebra mit Konjunktion, Disjunktion und Negation befasst.
Das Konzept der Booleschen Algebra wurde zuerst von George Boole in seinem Buch The Mathematical Analysis of Logic eingeführt und in seinem Buch An Investigation of the Laws of Thought weiter ausgebaut. Da das Konzept detailliert beschrieben wurde, wurde die Boolesche Algebra hauptsächlich in Computerprogrammiersprachen verwendet. Seine mathematischen Zwecke werden in der Mengenlehre und Statistik verwendet.
Boolesche Algebra im Finanzwesen
Die Boolesche Algebra findet Anwendung im Finanzwesen durch mathematische Modellierung von Marktaktivitäten. Beispielsweise kann die Untersuchung der Preisbildung von Aktienoptionen durch die Verwendung eines Binärbaums unterstützt werden, um die Bandbreite möglicher Ergebnisse des zugrunde liegenden Wertpapiers darzustellen. In diesem binomialen Optionspreismodell, bei dem es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt, repräsentiert die boolesche Variable einen Anstieg oder eine Abnahme des Kurses des Wertpapiers.
Diese Art der Modellierung ist notwendig, weil bei amerikanischen Optionen, die jederzeit ausgeübt werden können, der Kursverlauf eines Wertpapiers ebenso wichtig ist wie sein Endpreis. Das binomiale Optionspreismodell erfordert, dass der Kurs eines Wertpapiers in eine Reihe diskreter Zeitbereiche unterteilt wird.
Als solches ermöglicht das binomiale Optionspreismodell einem Investor oder Händler, die Veränderung des Vermögenspreises von einer Periode zur nächsten anzuzeigen. Auf diese Weise können sie die Option anhand von Entscheidungen bewerten, die an verschiedenen Punkten getroffen wurden. Da eine in den USA ansässige Option jederzeit ausgeübt werden kann, kann ein Händler entscheiden, ob er eine Option ausüben oder sie über einen längeren Zeitraum halten soll. Eine Analyse des Binomialbaums würde es einem Händler ermöglichen, im Voraus zu sehen, ob eine Option ausgeübt werden sollte. Bei einem positiven Wert sollte die Option ausgeübt werden, bei einem negativen Wert sollte der Händler an der Position festhalten.