Preismodell für binomiale Optionen

Was ist das Preismodell für binomiale Optionen?

Der Binominalmodells ist eine Optionsbewertungsmethode im Jahr 1979 entwickelte das Ablaufdatum.

Das Modell reduziert die Möglichkeiten von Preisänderungen und beseitigt die Möglichkeit der Arbitrage. Ein vereinfachtes Beispiel für einen Binomialbaum könnte so aussehen:

Grundlagen des binomialen Optionspreismodells

Bei binomialen Optionspreismodellen gehen die Annahmen davon aus, dass es zwei mögliche Ergebnisse gibt – daher der binomiale Teil des Modells. Bei einem Preismodell sind die beiden Ergebnisse eine Aufwärts- oder eine Abwärtsbewegung. Der Hauptvorteil eines binomialen Optionspreismodells besteht darin, dass sie mathematisch einfach sind. Diese Modelle können jedoch in einem Mehrperiodenmodell komplex werden.

Im Gegensatz zum Black-Scholes-Modell, das ein numerisches Ergebnis auf Basis von Eingaben liefert, ermöglicht das Binomialmodell die Berechnung des Vermögenswerts und die Option für mehrere Perioden sowie die Bandbreite der möglichen Ergebnisse für jede Periode (siehe unten).

Der Vorteil dieser Mehrperiodenansicht besteht darin, dass der Benutzer die Änderung des Vermögenspreises von Periode zu Periode visualisieren und die Option basierend auf Entscheidungen bewerten kann, die zu verschiedenen Zeitpunkten getroffen wurden. Für eine US-amerikanische  Option, die jederzeit vor dem Verfallsdatum ausgeübt werden kann , kann das Binomialmodell Aufschluss darüber geben, wann die Ausübung der Option ratsam ist und wann sie für längere Zeit gehalten werden sollte.

Durch Betrachten des  Binomialbaums  der Werte kann ein Händler im Voraus bestimmen, wann eine Entscheidung über eine  Ausübung erfolgen  kann. Bei einem positiven Optionswert besteht die Möglichkeit der Ausübung, bei einem Optionswert kleiner Null sollte sie länger gehalten werden.

Preisberechnung mit dem Binomialmodell

Die grundlegende Methode zur Berechnung des binomialen Optionsmodells besteht darin, in jeder Periode die gleiche Wahrscheinlichkeit für Erfolg und Misserfolg  bis zum Verfall der Option zu verwenden. Ein Händler kann jedoch für jeden Zeitraum unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten basierend auf neuen Informationen, die im Laufe der Zeit erhalten werden, berücksichtigen.

Ein Binomialbaum ist ein nützliches Werkzeug bei der Preisbildung  amerikanischer Optionen  und  eingebetteter Optionen. Ihre Einfachheit ist ihr Vor- und Nachteil zugleich. Der Baum ist mechanisch leicht zu modellieren, aber das Problem liegt in den möglichen Werten, die der zugrunde liegende Vermögenswert in einem bestimmten Zeitraum annehmen kann. In einem Binomialbaummodell kann der zugrunde liegende Vermögenswert nur genau einen von zwei möglichen Werten wert sein, was nicht realistisch ist, da Vermögenswerte eine beliebige Anzahl von Werten innerhalb eines bestimmten Bereichs haben können.

Es besteht beispielsweise eine 50/50-Chance, dass der Preis des zugrunde liegenden Vermögenswerts in einem Zeitraum um 30 Prozent steigen oder fallen kann. In der zweiten Periode kann die Wahrscheinlichkeit, dass der Preis des Basiswerts steigt, jedoch auf 70/30 steigen.

Wenn ein Investor beispielsweise eine Ölquelle bewertet, ist sich dieser Investor nicht sicher, wie hoch der Wert dieser Ölquelle ist, aber es besteht eine 50/50-Chance, dass der Preis steigt. Wenn  die Marktfundamentaldaten deuten nun auf dem weiteren Ölpreissteigerungen kann die Wahrscheinlichkeit einer weiteren Aufwertung im Preis jetzt 70 Prozent. Das Binomialmodell ermöglicht diese Flexibilität; das Black-Scholes-Modell nicht.

Praxisbeispiel eines binomialen Optionspreismodells

Ein vereinfachtes Beispiel für einen Binomialbaum hat nur einen Schritt. Angenommen, es gibt eine Aktie mit einem Preis von 100 US-Dollar pro Aktie. In einem Monat wird der Preis dieser Aktie um 10 US-Dollar steigen oder um 10 US-Dollar fallen, was zu folgender Situation führt:

• Aktienkurs = 100 $
• Aktienkurs in einem Monat (aufwärts) = 110 $
• Aktienkurs in einem Monat (Down State) = $90

Nehmen wir als Nächstes an, dass für diese Aktie eine Call-Option verfügbar ist, die in einem Monat ausläuft und einen Ausübungspreis von 100 US-Dollar hat. Im Up-Zustand ist diese Call-Option 10 $ wert, und im Down-Zustand ist sie 0 $ wert. Das Binomialmodell kann berechnen, wie hoch der Preis der Call-Option heute sein sollte.

Nehmen wir zur Vereinfachung an, dass ein Anleger eine halbe Aktie kauft und eine Call-Option verkauft oder verkauft. Die heutige Gesamtinvestition entspricht dem Preis einer halben Aktie abzüglich des Optionspreises. Die möglichen Auszahlungen am Monatsende sind:

• Kosten heute = $50 – Optionspreis
• Portfoliowert (aufwärts) = 55 $ – max (110 $ – 100 $, 0) = 45 $
• Portfoliowert (Down State) = $45 – max($90 – $100, 0) = $45

Die Auszahlung des Portfolios ist gleich, egal wie sich der Aktienkurs bewegt. Angesichts dieses Ergebnisses sollte ein Anleger unter der Annahme, dass keine Arbitragemöglichkeiten bestehen, im Laufe des Monats den risikofreien Zinssatz verdienen. Die Kosten müssen heute der Auszahlung entsprechen, die zum risikofreien Zinssatz für einen Monat abgezinst wird. Die zu lösende Gleichung lautet also:

• Optionspreis = 50 $ – 45 $ xe ^ (-risikofreier Zinssatz x T), wobei e die mathematische Konstante 2,7183 ist.

Angenommen, der risikofreie Zinssatz beträgt 3% pro Jahr und T gleich 0,0833 (eins dividiert durch 12), dann beträgt der Preis der Call-Option heute 5,11 $.

Das binomiale Optionspreismodell bietet gegenüber dem Black-Scholes-Modell zwei Vorteile für Optionsverkäufer. Der erste ist seine Einfachheit, die weniger Fehler in der kommerziellen Anwendung ermöglicht. Der zweite ist seine iterative Operation, die die Preise rechtzeitig anpasst, um die Möglichkeit für Käufer zu verringern, Arbitrage-Strategien auszuführen.

Da es beispielsweise einen Strom von Bewertungen für ein Derivat für jeden Knoten über einen bestimmten Zeitraum bereitstellt, ist es nützlich für die Bewertung von Derivaten wie amerikanischen Optionen, die jederzeit zwischen dem Kaufdatum und dem Verfallsdatum ausgeführt werden können. Es ist auch viel einfacher als andere Preismodelle wie das Black-Scholes-Modell.