Binomial-Optionspreismodell
Was ist das Binomialoptionspreismodell?
Der Binominalmodells ist eine Optionsbewertungsmethode im Jahr 1979 entwickelte das Ablaufdatum.
Die zentralen Thesen
- Das Binomialoptionspreismodell bewertet Optionen mithilfe eines iterativen Ansatzes, bei dem mehrere Perioden verwendet werden, um amerikanische Optionen zu bewerten.
- Mit dem Modell gibt es zwei mögliche Ergebnisse bei jeder Iteration – eine Aufwärts- oder Abwärtsbewegung, die einem Binomialbaum folgt.
- Das Modell ist intuitiv und wird in der Praxis häufiger verwendet als das bekannte Black-Scholes-Modell.
Das Modell reduziert die Möglichkeit von Preisänderungen und beseitigt die Möglichkeit von Arbitrage. Ein vereinfachtes Beispiel für einen Binomialbaum könnte ungefähr so aussehen:
Grundlagen des Binomial-Optionspreismodells
Bei Binomialoptionspreismodellen wird davon ausgegangen, dass es zwei mögliche Ergebnisse gibt – daher der Binomialteil des Modells. Bei einem Preismodell sind die beiden Ergebnisse eine Aufwärts- oder eine Abwärtsbewegung. Der Hauptvorteil eines Binomialoptionspreismodells besteht darin, dass sie mathematisch einfach sind. Diese Modelle können jedoch in einem Mehrperiodenmodell komplex werden.
Im Gegensatz zum Black-Scholes-Modell, das ein numerisches Ergebnis basierend auf Eingaben liefert, ermöglicht das Binomialmodell die Berechnung des Vermögenswerts und die Option für mehrere Perioden sowie den Bereich möglicher Ergebnisse für jede Periode (siehe unten).
Der Vorteil dieser Mehrperiodenansicht besteht darin, dass der Benutzer die Änderung des Vermögenspreises von Periode zu Periode visualisieren und die Option basierend auf Entscheidungen bewerten kann, die zu verschiedenen Zeitpunkten getroffen wurden. Für eine in den USA ansässige Option, die jederzeit vor dem Ablaufdatum ausgeübt werden kann , kann das Binomialmodell Aufschluss darüber geben, wann die Ausübung der Option ratsam sein kann und wann sie für längere Zeiträume gehalten werden sollte.
Durch Betrachten des Binomialbaums von Werten kann ein Händler im Voraus bestimmen, wann eine Entscheidung über eine Übung getroffen werden kann. Wenn die Option einen positiven Wert hat, besteht die Möglichkeit der Ausübung. Wenn die Option einen Wert unter Null hat, sollte sie länger gehalten werden.
Preisberechnung mit dem Binomialmodell
Die grundlegende Methode zur Berechnung des Binomialoptionsmodells besteht darin, in jeder Periode dieselbe Wahrscheinlichkeit für Erfolg und Misserfolg zu verwenden, bis die Option abläuft. Ein Händler kann jedoch unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten für jeden Zeitraum berücksichtigen, basierend auf neuen Informationen, die im Laufe der Zeit erhalten werden.
Ein Binomialbaum ist ein nützliches Werkzeug bei der Preisgestaltung für amerikanische Optionen und eingebettete Optionen. Seine Einfachheit ist gleichzeitig sein Vor- und Nachteil. Der Baum lässt sich leicht mechanisch modellieren, das Problem liegt jedoch in den möglichen Werten, die der zugrunde liegende Vermögenswert in einem bestimmten Zeitraum annehmen kann. In einem Binomialbaummodell kann das zugrunde liegende Asset nur genau einen von zwei möglichen Werten wert sein, was nicht realistisch ist, da Assets eine beliebige Anzahl von Werten innerhalb eines bestimmten Bereichs wert sein können.
Beispielsweise besteht möglicherweise eine 50/50-Chance, dass der Preis des zugrunde liegenden Vermögenswerts in einer Periode um 30 Prozent steigt oder fällt. Für den zweiten Zeitraum kann die Wahrscheinlichkeit, dass der Preis des zugrunde liegenden Vermögenswerts steigt, jedoch auf 70/30 steigen.
Wenn ein Investor beispielsweise eine Ölquelle bewertet, ist dieser Investor nicht sicher, wie hoch der Wert dieser Ölquelle ist, aber es besteht eine 50/50-Chance, dass der Preis steigt. Wenn Marktgrundlagen nun auf einen weiteren Anstieg der Ölpreise hindeuten, kann die Wahrscheinlichkeit einer weiteren Aufwertung des Preises nun 70 Prozent betragen. Das Binomialmodell ermöglicht diese Flexibilität. das Black-Scholes-Modell nicht.
Beispiel aus der Praxis für das Binomial-Optionspreismodell
Ein vereinfachtes Beispiel eines Binomialbaums besteht nur aus einem Schritt. Angenommen, es gibt eine Aktie mit einem Preis von 100 USD pro Aktie. In einem Monat wird der Kurs dieser Aktie um 10 USD steigen oder um 10 USD fallen, was folgende Situation schafft:
- Aktienkurs = 100 $
- Aktienkurs in einem Monat (Up State) = 110 USD
- Aktienkurs in einem Monat (Down State) = 90 USD
Nehmen wir als nächstes an, dass für diese Aktie eine Call-Option verfügbar ist, die innerhalb eines Monats abläuft und einen Ausübungspreis von 100 USD hat. Im Aufwärtszustand ist diese Anrufoption 10 USD wert, und im Abwärtszustand ist sie 0 USD wert. Das Binomialmodell kann berechnen, wie hoch der Preis der Call-Option heute sein sollte.
Nehmen Sie zur Vereinfachung an, dass ein Anleger die Hälfte der Aktien kauft und eine Call-Option schreibt oder verkauft. Die heutige Gesamtinvestition entspricht dem Preis einer halben Aktie abzüglich des Optionspreises. Die möglichen Auszahlungen am Monatsende sind:
- Kosten heute = $ 50 – Optionspreis
- Portfolio-Wert (Up-Status) = 55 USD – maximal (110 USD – 100 USD, 0 USD) = 45 USD
- Portfolio-Wert (Down-Status) = 45 USD – maximal (90 USD – 100 USD, 0 USD) = 45 USD
Die Portfolioauszahlung ist gleich, unabhängig davon, wie sich der Aktienkurs bewegt. Angesichts dieses Ergebnisses sollte ein Anleger unter der Annahme, dass keine Arbitrage-Möglichkeiten bestehen, den risikofreien Zinssatz im Laufe des Monats verdienen. Die heutigen Kosten müssen der Auszahlung entsprechen, die für einen Monat zum risikofreien Preis abgezinst wird. Die zu lösende Gleichung lautet also:
- Optionspreis = $ 50 – $ 45 xe ^ (risikofreier Kurs x T), wobei e die mathematische Konstante 2.7183 ist.
Unter der Annahme, dass der risikofreie Zinssatz 3% pro Jahr beträgt und T 0,0833 (eins geteilt durch 12) beträgt, beträgt der Preis der Call-Option heute 5,11 USD.
Das binomiale Optionspreismodell bietet Optionsverkäufern zwei Vorteile gegenüber dem Black-Scholes-Modell. Das erste ist seine Einfachheit, die weniger Fehler in der kommerziellen Anwendung ermöglicht. Die zweite ist die iterative Operation, bei der die Preise zeitnah angepasst werden, um die Möglichkeit für Käufer zu verringern, Arbitrage-Strategien auszuführen.
Da es beispielsweise einen Bewertungsstrom für ein Derivat für jeden Knoten in einem bestimmten Zeitraum bereitstellt, ist es nützlich, Derivate wie amerikanische Optionen zu bewerten, die jederzeit zwischen dem Kaufdatum und dem Ablaufdatum ausgeführt werden können. Es ist auch viel einfacher als andere Preismodelle wie das Black-Scholes-Modell.