Bayes ‚Theorem Definition
Was ist der Satz von Bayes?
Der Satz von Bayes, benannt nach dem britischen Mathematiker Thomas Bayes aus dem 18. Jahrhundert, ist eine mathematische Formel zur Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeit. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis auftritt, basierend auf einem vorherigen Ergebnis. Der Satz von Bayes bietet eine Möglichkeit, bestehende Vorhersagen oder Theorien (Aktualisierungswahrscheinlichkeiten) zu überarbeiten, wenn neue oder zusätzliche Beweise vorliegen. Im Finanzbereich kann der Satz von Bayes verwendet werden, um das Risiko einer Geldleihe an potenzielle Kreditnehmer zu bewerten.
Der Satz von Bayes wird auch als Bayes-Regel oder Bayes-Gesetz bezeichnet und bildet die Grundlage für das Gebiet der Bayes’schen Statistik.
Die zentralen Thesen
- Mit dem Bayes-Theorem können Sie die vorhergesagten Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses aktualisieren, indem Sie neue Informationen einbeziehen.
- Der Satz von Bayes wurde nach dem Mathematiker Thomas Bayes aus dem 18. Jahrhundert benannt.
- Es wird häufig im Finanzbereich zur Aktualisierung der Risikobewertung eingesetzt.
Den Satz von Bayes verstehen
Anwendungen des Theorems sind weit verbreitet und nicht auf den Finanzbereich beschränkt. Beispielsweise kann der Satz von Bayes verwendet werden, um die Genauigkeit medizinischer Testergebnisse zu bestimmen, indem berücksichtigt wird, wie wahrscheinlich es ist, dass eine bestimmte Person an einer Krankheit leidet, und die allgemeine Genauigkeit des Tests. Der Satz von Bayes beruht auf der Einbeziehung vorheriger Wahrscheinlichkeitsverteilungen, um hintere Wahrscheinlichkeiten zu erzeugen. Die vorherige Wahrscheinlichkeit in der Bayes’schen statistischen Inferenz ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, bevor neue Daten gesammelt werden. Dies ist die beste rationale Einschätzung der Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses auf der Grundlage des aktuellen Wissens, bevor ein Experiment durchgeführt wird. Die hintere Wahrscheinlichkeit ist die überarbeitete Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis auftritt, nachdem neue Informationen berücksichtigt wurden. Die hintere Wahrscheinlichkeit wird berechnet, indem die vorherige Wahrscheinlichkeit unter Verwendung des Bayes-Theorems aktualisiert wird. Statistisch gesehen ist die hintere Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A auftritt, wenn Ereignis B aufgetreten ist.
Der Satz von Bayes gibt somit die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses an, das auf neuen Informationen basiert, die mit diesem Ereignis zusammenhängen oder in Beziehung stehen können. Die Formel kann auch verwendet werden, um zu sehen, wie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses durch hypothetische neue Informationen beeinflusst wird, vorausgesetzt, die neuen Informationen erweisen sich als wahr. Angenommen, eine einzelne Karte wird aus einem vollständigen Kartenspiel mit 52 Karten gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Karte ein König ist, beträgt vier geteilt durch 52, was 1/13 oder ungefähr 7,69% entspricht. Denken Sie daran, dass sich vier Könige im Deck befinden. Angenommen, es wird angezeigt, dass es sich bei der ausgewählten Karte um eine Bildkarte handelt. Die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Karte ein König ist, beträgt vier geteilt durch 12 oder ungefähr 33,3%, da sich 12 Bildkarten in einem Deck befinden.
Formel für den Satz von Bayes
Beispiele für den Satz von Bayes
Nachfolgend finden Sie zwei Beispiele für den Satz von Bayes, in denen das erste Beispiel zeigt, wie die Formel in einem Beispiel für Aktieninvestitionen unter Verwendung von Amazon.com Inc. ( AMZN ) abgeleitet werden kann. Das zweite Beispiel wendet den Satz von Bayes auf Arzneimittelprüfungen an.
Ableiten der Satzformel des Bayes
Der Satz von Bayes folgt einfach aus den Axiomen der bedingten Wahrscheinlichkeit. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn ein anderes Ereignis aufgetreten ist. Eine einfache Wahrscheinlichkeitsfrage könnte beispielsweise lauten: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Aktienkurs von Amazon.com fällt?“ Die bedingte Wahrscheinlichkeit geht noch einen Schritt weiter und fragt: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der AMZN-Aktienkurs fällt , da der DJIA-Index ( Dow Jones Industrial Average ) früher gefallen ist?“
Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, wenn B passiert ist, kann ausgedrückt werden als:
Wenn A ist: „AMZN-Preis fällt“, dann ist P (AMZN) die Wahrscheinlichkeit, dass AMZN fällt; und B ist: „DJIA ist bereits ausgefallen“ und P (DJIA) ist die Wahrscheinlichkeit, dass der DJIA gefallen ist; dann lautet der bedingte Wahrscheinlichkeitsausdruck als „die Wahrscheinlichkeit, dass AMZN bei einem DJIA-Rückgang fällt, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der AMZN-Preis fällt und DJIA über die Wahrscheinlichkeit eines Rückgangs des DJIA-Index sinkt.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN und DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN und DJIA) ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B auftreten. Dies ist auch dasselbe wie die Wahrscheinlichkeit des Auftretens von A multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass B auftritt, vorausgesetzt, dass A auftritt, ausgedrückt als P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). Die Tatsache, dass diese beiden Ausdrücke gleich sind, führt zum Satz von Bayes, der wie folgt geschrieben ist:
wenn, P (AMZN und DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
dann ist P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Wobei P (AMZN) und P (DJIA) die Wahrscheinlichkeiten sind, mit denen Amazon und der Dow Jones fallen, ohne Rücksicht aufeinander.
Die Formel erklärt die Beziehung zwischen der Wahrscheinlichkeit der Hypothese, bevor der Beweis erbracht wird, dass P (AMZN), und der Wahrscheinlichkeit der Hypothese, nachdem der Beweis P (AMZN | DJIA) erhalten wurde, wenn eine Hypothese für Amazon im Dow gegeben ist.
Numerisches Beispiel des Bayes-Theorems
Stellen Sie sich als numerisches Beispiel vor, dass es einen Drogentest gibt, der zu 98% genau ist. Dies bedeutet, dass in 98% der Fälle ein wirklich positives Ergebnis für jemanden angezeigt wird, der das Medikament konsumiert, und in 98% der Fälle ein wirklich negatives Ergebnis für Nichtkonsumenten des Arzneimittels Arzneimittel. Nehmen wir als nächstes an, dass 0,5% der Menschen das Medikament konsumieren. Wenn eine Person, die bei zufälligen Tests ausgewählt wurde, positiv für das Medikament ist, kann die folgende Berechnung durchgeführt werden, um festzustellen, ob die Wahrscheinlichkeit, dass die Person tatsächlich ein Konsument des Medikaments ist.
(0,98 x 0,005) / [(0,98 x 0,005) + ((1 – 0,98) x (1 – 0,005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76%
Der Satz von Bayes zeigt, dass selbst wenn eine Person in diesem Szenario positiv getestet wurde, es tatsächlich viel wahrscheinlicher ist, dass die Person kein Konsument des Arzneimittels ist.