Wetten Sie intelligenter mit der Monte-Carlo-Simulation

Im Finanzbereich ist die Schätzung des zukünftigen Wertes von Zahlen oder Beträgen aufgrund der Vielzahl möglicher Ergebnisse mit einem gewissen Maß an Unsicherheit und Risiken verbunden. Die Monte-Carlo-Simulation (MCS) ist eine Technik, die hilft, die Unsicherheit bei der Schätzung zukünftiger Ergebnisse zu reduzieren. MCS kann auf komplexe, nichtlineare Modelle angewendet oder zur Bewertung der Genauigkeit und Leistung anderer Modelle verwendet werden. Es kann auch in Risikomanagement, Portfoliomanagement, Preisderivaten, strategischer Planung, Projektplanung, Kostenmodellierung und anderen Bereichen eingesetzt werden.

Definition

MCS ist eine Technik, die Unsicherheiten in Eingabevariablen eines Modells in Wahrscheinlichkeitsverteilungen umwandelt. Durch Kombinieren der Verteilungen und zufällige Auswahl von Werten daraus wird das simulierte Modell viele Male neu berechnet und die Wahrscheinlichkeit der Ausgabe ermittelt.

Grundlegende Eigenschaften

• Mit MCS können mehrere Eingänge gleichzeitig verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines oder mehrerer Ausgänge zu erstellen.
• Den Eingaben des Modells können verschiedene Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen zugeordnet werden. Wenn die Verteilung unbekannt ist, kann diejenige ausgewählt werden, die die beste Anpassung darstellt.
• Die Verwendung von Zufallszahlen kennzeichnet MCS als stochastische Methode. Die Zufallszahlen müssen unabhängig sein; zwischen ihnen sollte kein Zusammenhang bestehen.
• MCS generiert die Ausgabe als Bereich anstelle eines festen Werts und zeigt an, wie wahrscheinlich es ist, dass der Ausgabewert im Bereich auftritt.

Einige häufig verwendete Wahrscheinlichkeitsverteilungen in MCS

Normal-/Gauss-Verteilung  – Kontinuierliche Verteilung in Situationen, in denen der Mittelwert und die Standardabweichung angegeben sind und der Mittelwert den wahrscheinlichsten Wert der Variablen darstellt. Sie ist symmetrisch um den Mittelwert und nicht beschränkt.

Lognormalverteilung  – Kontinuierliche Verteilung, angegeben durch Mittelwert und Standardabweichung. Dies ist für eine Variable im Bereich von Null bis Unendlich mit positiver Schiefe und mit normalverteiltem natürlichem Logarithmusangemessen.

Dreiecksverteilung  – Kontinuierliche Verteilung mit festen Minimal- und Maximalwerten. Er wird durch die Minimal- und Maximalwerte begrenzt und kann entweder symmetrisch (wahrscheinlichster Wert = Mittelwert = Median) oder asymmetrisch sein.

Gleichmäßige Verteilung  – Kontinuierliche Verteilung, begrenzt durch bekannte Mindest- und Höchstwerte. Im Gegensatz zur Dreiecksverteilung ist die Eintrittswahrscheinlichkeit der Werte zwischen Minimum und Maximum gleich.

Exponentielle Verteilung  – Kontinuierliche Verteilung, die verwendet wird, um die Zeit zwischen unabhängigen Ereignissen zu veranschaulichen, vorausgesetzt, die Häufigkeit der Ereignisse ist bekannt.

Die Mathematik hinter MCS

Es sei angenommen, dass wir eine reelle Funktion g (X) mit der Wahrscheinlichkeitsfrequenzfunktion P (x) (wenn X diskret ist) oder der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f (x) (wenn X stetig ist) haben. Dann können wir den Erwartungswert von g(X) diskret bzw. stetig definieren:

Gneinμ(x)=1neinΣich=1neinG(xich), which represents the final simulatedvalue of E(G(X)). Therefore Gneinμ(X)=1neinΣich=1neinG(X) will be the Monte Carloestimator of E(G(X)). Eins nein→∞, Gneinμ(X)→E(G(X)),thus we einre nOw einble tocompute the dispersion around the estimated mEeinn withthe unbiased variance of Gneinμ(X):V.einr(Gneinμ(X))=1nein−1Σich=1nein(G(xich)−Gneinμ(x))2.\begin{aligned}&g^\mu_n(x)=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}g(x_i),\text{ was die endgültige simulierte}\\&\text{ darstellt Wert von }E(g(X)).\\\\&\text{Daher }g^\mu_n(X)=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1}g(X) \ text {wird der Monte Carlo sein} \\ & \ text {Schätzer von} E (g (X)). \\\\ & \ text {As} n \ to \ infty, g ^ \ mu_n (X) \ zu E(g(X)), \text{damit sind wir nun in der Lage}\\&\text{die Streuung um den geschätzten Mittelwert mit}\\&\text{der unverzerrten Varianz von }g^\mu_n( X)\text{:}\\&Var(g^\mu_n(X))=\frac{1}{n-1}\sum^n_{i=1}(g(x_i)-g^\mu_n( x))^2.\end{ausgerichtet}​Gneinμ​(x)=nein

Einfaches Beispiel

Wie wird sich die Unsicherheit bei Stückpreis, Absatz und variablen Kosten auf das EBITD auswirken?

Copyright Unit Sales)-( Variable Kosten + Fixkosten )

Erklären wir die Unsicherheit der Inputs – Stückpreis, Stückverkauf und variable Kosten – anhand einer Dreiecksverteilung, die durch die jeweiligen Minimal- und Maximalwerte der Inputs aus der Tabelle vorgegeben wird.

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Empfindlichkeitstabelle

Ein Sensitivitätsdiagramm kann sehr nützlich sein, wenn es darum geht, die Auswirkungen der Eingaben auf die Ausgabe zu analysieren. Es heißt, dass der Absatz des simulierten EBITD 62 % der Varianz ausmacht, die variablen Kosten 28,6 % und der Stückpreis 9,4 %. Die Korrelation zwischen Absatz und EBITD sowie zwischen Stückpreis und EBITD ist positiv bzw. ein Anstieg des Absatzes bzw. des Stückpreises führt zu einem Anstieg des EBITD. Variable Kosten und EBITD hingegen sind negativ korreliert, und durch Senkung der variablen Kosten werden wir das EBITD steigern.

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Beachten Sie, dass das Definieren der Unsicherheit eines Eingabewerts durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die nicht der realen Verteilung entspricht, und die Stichprobenziehung daraus falsche Ergebnisse liefert. Darüber hinaus ist die Annahme, dass die Eingabevariablen unabhängig sind, möglicherweise nicht gültig. Irreführende Ergebnisse können von Eingaben stammen, die sich gegenseitig ausschließen, oder wenn eine signifikante Korrelation zwischen zwei oder mehr Eingabeverteilungen gefunden wird.

Die Quintessenz

Die MCS-Technik ist unkompliziert und flexibel. Es kann Unsicherheit und Risiko nicht auslöschen, aber es kann sie verständlicher machen, indem den Ein- und Ausgängen eines Modells probabilistische Merkmale zugeschrieben werden. Es kann sehr nützlich sein, um verschiedene Risiken und Faktoren zu bestimmen, die sich auf prognostizierte Variablen auswirken, und kann daher zu genaueren Vorhersagen führen. Beachten Sie auch, dass die Anzahl der Versuche nicht zu klein sein sollte, da sie möglicherweise nicht ausreicht, um das Modell zu simulieren, wodurch eine Clusterbildung von Werten auftritt.