Definition der Methode der kleinsten Quadrate
Was ist die Methode der kleinsten Quadrate?
Die Methode der kleinsten Quadrate ist eine Form der mathematischen Regressionsanalyse, die verwendet wird, um die beste Anpassungslinie für einen Datensatz zu bestimmen und eine visuelle Demonstration der Beziehung zwischen den Datenpunkten bereitzustellen. Jeder Datenpunkt repräsentiert die Beziehung zwischen einer bekannten unabhängigen Variablen und einer unbekannten abhängigen Variablen.
Was sagt Ihnen die Methode der kleinsten Quadrate?
Die Methode der kleinsten Quadrate liefert die allgemeine Begründung für die Platzierung der Linie der besten Anpassung unter den untersuchten Datenpunkten. Die gebräuchlichste Anwendung dieser Methode, die manchmal als „linear“ oder „gewöhnlich“ bezeichnet wird, zielt darauf ab, eine gerade Linie zu erzeugen, die die Summe der Quadrate der Fehler minimiert, die durch die Ergebnisse der zugehörigen Gleichungen erzeugt werden, wie z als quadrierte Residuen, die sich aus Unterschieden im beobachteten Wert ergeben, und dem erwarteten Wert, basierend auf diesem Modell.
Diese Methode der Regressionsanalyse beginnt mit einem Satz von Datenpunkten, die auf einem x- und y-Achsen-Diagramm aufgetragen werden. Ein Analyst, der die Methode der kleinsten Quadrate verwendet, generiert eine Linie mit der besten Anpassung, die die mögliche Beziehung zwischen unabhängigen und abhängigen Variablen erklärt.
Bei der Regressionsanalyse werden abhängige Variablen auf der vertikalen y-Achse dargestellt, während unabhängige Variablen auf der horizontalen x-Achse dargestellt werden. Diese Bezeichnungen bilden die Gleichung für die Linie der besten Anpassung, die nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt wird.
Im Gegensatz zu einem linearen Problem hat ein nichtlineares Problem der kleinsten Quadrate keine geschlossene Lösung und wird im Allgemeinen durch Iteration gelöst. Die Entdeckung der Methode der kleinsten Quadrate wird Carl Friedrich Gauss zugeschrieben, der die Methode 1795 entdeckte.
Die zentralen Thesen
- Die Methode der kleinsten Quadrate ist ein statistisches Verfahren, um die beste Anpassung für einen Satz von Datenpunkten zu finden, indem die Summe der Offsets oder Residuen von Punkten aus der gezeichneten Kurve minimiert wird.
- Die Regression der kleinsten Quadrate wird verwendet, um das Verhalten abhängiger Variablen vorherzusagen.
Beispiel für die Methode der kleinsten Quadrate
Ein Beispiel für die Methode der kleinsten Quadrate ist ein Analyst, der die Beziehung zwischen den Aktienrenditen eines Unternehmens und den Renditen des Index testen möchte, für den die Aktie eine Komponente ist. In diesem Beispiel versucht der Analyst, die Abhängigkeit der Aktienrenditen von den Indexrenditen zu testen. Um dies zu erreichen, werden alle Renditen in einem Diagramm dargestellt. Die Indexrenditen werden dann als unabhängige Variable und die Aktienrenditen als abhängige Variable bezeichnet. Die Best-Fit-Linie liefert dem Analytiker Koeffizienten, die den Grad der Abhängigkeit erklären.
Die Linie der Best-Fit-Gleichung
Die nach der Methode der kleinsten Quadrate ermittelte Linie der besten Anpassung hat eine Gleichung, die die Geschichte der Beziehung zwischen den Datenpunkten erzählt. Gleichungen mit der besten Anpassung können durch Computersoftwaremodelle bestimmt werden, die eine Zusammenfassung von Ausgaben für die Analyse enthalten, wobei die Koeffizienten und Zusammenfassungsausgaben die Abhängigkeit der getesteten Variablen erklären.
Regressionsgerade der kleinsten Quadrate
Wenn die Daten eine schlankere Beziehung zwischen zwei Variablen zeigen, wird die Linie, die dieser linearen Beziehung am besten entspricht, als Regressionslinie der kleinsten Quadrate bezeichnet, die den vertikalen Abstand zwischen den Datenpunkten und der Regressionslinie minimiert. Der Begriff „kleinste Quadrate“ wird verwendet, weil es sich um die kleinste Summe von Fehlerquadraten handelt, die auch als „Varianz“ bezeichnet wird.
Häufig gestellte Fragen
Was ist die Methode der kleinsten Quadrate?
Die Methode der kleinsten Quadrate ist eine mathematische Technik, mit der der Analytiker bestimmen kann, wie eine Kurve am besten über ein Diagramm mit Datenpunkten angepasst werden kann. Es wird häufig verwendet, um die Interpretation von Streudiagrammen zu erleichtern, und wird mit der Regressionsanalyse in Verbindung gebracht. Diese Technik wurde zuerst von dem deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß entwickelt, der zwischen 1777 und 1855 lebte. Heutzutage kann die Methode der kleinsten Quadrate mit den meisten statistischen Softwareprogrammen automatisch verwendet werden.
Wie wird die Methode der kleinsten Quadrate im Finanzwesen angewendet?
Die Methode der kleinsten Quadrate wird in einer Vielzahl von Bereichen verwendet, einschließlich Finanzen und Investitionen. Für Finanzanalysten kann die Methode der kleinsten Quadrate helfen, die Beziehung zwischen zwei oder mehr Variablen zu quantifizieren: wie dem Aktienkurs einer Aktie und ihrem Gewinn pro Aktie (EPS). Durch diese Art von Analyse können Anleger versuchen, das zukünftige Verhalten von Aktienkursen oder anderen Faktoren vorherzusagen.
Was ist ein Beispiel für die Methode der kleinsten Quadrate?
Betrachten Sie zur Veranschaulichung den Fall einer Investition, die erwägt, in ein Goldminenunternehmen zu investieren. Der Anleger möchte möglicherweise wissen, wie empfindlich der Aktienkurs des Unternehmens auf Änderungen des Marktpreises von Gold reagiert. Um dies zu untersuchen, könnte der Investor die Methode der kleinsten Quadrate verwenden, um die Beziehung zwischen diesen beiden Variablen über die Zeit in einem Streudiagramm zu verfolgen. Diese Analyse könnte dem Anleger helfen, vorherzusagen, inwieweit der Aktienkurs bei einem bestimmten Anstieg oder Rückgang des Goldpreises wahrscheinlich steigen oder fallen würde.