Verständnis des binomialen Optionspreismodells

Die zentralen Thesen

• Das binomiale Optionspreismodell bewertet Optionen mit einem iterativen Ansatz, der mehrere Zeiträume zur Bewertung amerikanischer Optionen verwendet.
• Bei dem Modell gibt es bei jeder Iteration zwei mögliche Ergebnisse – eine Bewegung nach oben oder eine Bewegung nach unten, die einem Binomialbaum folgen.
• Das Modell ist intuitiv und wird in der Praxis häufiger verwendet als das bekannte Black-Scholes-Modell.

Binominale Optionsbewertung

In einem wettbewerbsorientierten Marktmüssen Die Bewertung von Optionen war eine anspruchsvolle Aufgabe und Preisschwankungen führen zu Arbitragemöglichkeiten. Black-Scholes bleibt eines der beliebtesten Modelle für diePreisfindung verwendet Optionen hat aber Einschränkungen.

Das binomiale Optionspreismodell ist eine weitere beliebte Methode zurPreisfestsetzung von Optionen.

Beispiele

Angenommen, es gibt eine Call-Option auf eine bestimmte Aktie mit einem aktuellen Marktpreis von 100 US-Dollar. Die Option am Geld (ATM) hat einen Ausübungspreis von 100 US-Dollar mit einer Laufzeit von einem Jahr. Es gibt zwei Händler, Peter und Paula, die sich beide einig sind, dass der Aktienkurs in einem Jahr entweder auf 110 US-Dollar steigen oder auf 90 US-Dollar fallen wird.

Sie einigen sich auf das erwartete Preisniveau in einem bestimmten Zeitraum von einem Jahr, sind sich jedoch nicht einig über die Wahrscheinlichkeit einer Auf- oder Abwärtsbewegung. Peter glaubt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass der Aktienkurs auf 110 US-Dollar steigt, 60 % beträgt, während Paula 40 % glaubt.

Wer wäre auf dieser Grundlage bereit, mehr Preis für die Call-Option zu zahlen? Möglicherweise Peter, da er eine hohe Wahrscheinlichkeit der Aufwärtsbewegung erwartet.

Binominale Optionsberechnungen

Die beiden Vermögenswerte, von denen die Bewertung abhängt, sind die Call-Option und die zugrunde liegende Aktie. Die Teilnehmer sind sich einig, dass der zugrunde liegende Aktienkurs innerhalb eines Jahres von derzeit 100 USD auf 110 USD oder 90 USD steigen kann und keine weiteren Kursbewegungen möglich sind.

Wenn Sie in einer Arbitrage-freien Welt ein Portfolio erstellen müssen, das aus diesen beiden Vermögenswerten, Call-Option und zugrunde liegenden Aktien besteht, bleibt die Nettorendite des Portfolios unabhängig davon, wohin der zugrunde liegende Preis geht – 110 USD oder 90 USD – immer gleich. Angenommen, Sie kaufen „d“-Aktien des Basiswerts und shorten eine Call-Option, um dieses Portfolio aufzubauen.

Wenn der Preis 110 US-Dollar erreicht, sind Ihre Aktien 110 US-Dollar wert, und Sie verlieren 10 US-Dollar bei der Auszahlung des Short-Calls. Der Nettowert Ihres Portfolios beträgt (110d – 10).

Wenn der Preis auf 90 US-Dollar sinkt, haben Ihre Aktien einen Wert von 90 US-Dollar*d und die Option verfällt wertlos. Der Nettowert Ihres Portfolios beträgt (90d).

Wenn Sie möchten, dass der Wert Ihres Portfolios gleich bleibt, unabhängig davon, wohin der zugrunde liegende Aktienkurs geht, sollte Ihr Portfoliowert in beiden Fällen gleich bleiben:

Wenn Sie also eine halbe Aktie kaufen, schaffen Sie es unter der Annahme, dass Teilkäufe möglich sind, ein Portfolio so aufzubauen, dass sein Wert in beiden möglichen Zuständen innerhalb des vorgegebenen Zeitrahmens von einem Jahr gleich bleibt.

110d−10=90dd=12\begin{aligned} &110d – 10 = 90d \\ &d = \frac{ 1 }{ 2 } \\ \end{aligned}​110d−10=90dd=2

Dieser Portfoliowert, angegeben durch (90d) oder (110d – 10) = 45, ist ein Jahr später. Um seinen Barwert zu berechnen, kann er mit der risikofreien Rendite (bei Annahme von 5%) abgezinst werden.

Da das Portfolio derzeit aus einem halben Anteil der zugrunde liegenden Aktie (mit einem Marktpreis von 100 USD) und einem Short-Call besteht, sollte es dem Barwert entsprechen.

12