Additionsregel für die Wahrscheinlichkeitsdefinition
Was ist die Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten?
Die Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten beschreibt zwei Formeln, eine für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von zwei sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen und die andere für die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von zwei sich nicht gegenseitig ausschließenden Ereignissen.
Die erste Formel ist nur die Summe der Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse. Die zweite Formel ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse abzüglich der Wahrscheinlichkeit, dass beide auftreten.
Die zentralen Thesen
- Die Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten besteht aus zwei Regeln oder Formeln, von denen eine zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse und eine andere zwei sich nicht gegenseitig ausschließende Ereignisse berücksichtigt.
- Nicht gegenseitig ausschließend bedeutet, dass eine gewisse Überlappung zwischen den beiden fraglichen Ereignissen besteht und die Formel dies durch Subtrahieren der Wahrscheinlichkeit der Überlappung P(Y und Z) von der Summe der Wahrscheinlichkeiten von Y und Z kompensiert.
- Theoretisch ist die erste Form der Regel ein Sonderfall der zweiten Form.
Die Formeln für die Additionsregeln für Wahrscheinlichkeiten sind
Mathematisch wird die Wahrscheinlichkeit zweier sich gegenseitig ausschließender Ereignisse wie folgt angegeben:
Mathematisch wird die Wahrscheinlichkeit von zwei sich nicht gegenseitig ausschließenden Ereignissen angegeben durch:
P.(Y. oderr Z)=P.(Y.)+P.(Z)−P.(Y. einnd Z)P(Y \text{ oder } Z) = P(Y) + P(Z) – P(Y \text{ und } Z)P(Y oder Z)=P(Y)+P(Z)−P(Y und Z)
Was sagt Ihnen die Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten?
Um die erste Regel in der Additionsregel für Wahrscheinlichkeiten zu veranschaulichen, betrachten wir einen Würfel mit sechs Seiten und die Chancen, entweder eine 3 oder eine 6 zu würfeln. Da die Chancen, eine 3 zu würfeln, 1 zu 6 sind und die Chancen, eine 6 zu würfeln, ebenfalls 1 zu 6, die Chance, entweder eine 3 oder eine 6 zu würfeln, ist:
1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Um die zweite Regel zu veranschaulichen, betrachten wir eine Klasse mit 9 Jungen und 11 Mädchen. Am Ende des Semesters erhalten 5 Mädchen und 4 Jungen die Note B. Wenn ein Schüler zufällig ausgewählt wird, wie hoch sind die Chancen, dass der Schüler entweder ein Mädchen oder ein B-Student ist? Da die Chancen, ein Mädchen auszuwählen, bei 11 zu 20 liegen, die Chancen, eine B-Studentin zu wählen, 9 zu 20 sind und die Chancen, ein Mädchen zu wählen, das eine B-Studentin ist, 5/20 beträgt, sind die Chancen, ein Mädchen oder eine B-Studentin auszuwählen sind:
11/20 + 9/20 – 5/20 =15/20 = 3/4
In Wirklichkeit vereinfachen sich die beiden Regeln zu nur einer Regel, der zweiten. Das liegt daran, dass im ersten Fall die Wahrscheinlichkeit, dass zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse auftreten, gleich 0 ist. Im Beispiel mit dem Würfel ist es unmöglich, mit einem einzigen Würfelwurf sowohl eine 3 als auch eine 6 zu würfeln. Die beiden Ereignisse schließen sich also gegenseitig aus.
Gegenseitige Exklusivität
Sich gegenseitig ausschließen ist ein statistischer Begriff, der zwei oder mehr Ereignisse beschreibt, die nicht zusammenfallen können. Es wird häufig verwendet, um eine Situation zu beschreiben, in der das Auftreten eines Ergebnisses das andere überlagert. Betrachten Sie als einfaches Beispiel das Würfeln. Sie können nicht gleichzeitig eine Fünf und eine Drei auf einem einzigen Würfel würfeln. Darüber hinaus hat das Erzielen einer Drei bei einem ersten Wurf keinen Einfluss darauf, ob ein nachfolgender Wurf eine Fünf ergibt oder nicht. Alle Würfelwürfe sind unabhängige Ereignisse.