Poisson-Verteilung
Was ist eine Poisson-Verteilung?
In der Statistik ist eine Poisson-Verteilung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die verwendet werden kann, um anzuzeigen, wie oft ein Ereignis innerhalb eines bestimmten Zeitraums wahrscheinlich auftritt. Mit anderen Worten, es ist eine Zählverteilung. Poisson-Verteilungen werden häufig verwendet, um unabhängige Ereignisse zu verstehen, die mit einer konstanten Rate innerhalb eines bestimmten Zeitintervalls auftreten. Es wurde nach dem französischen Mathematiker Siméon Denis Poisson benannt.
Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Funktion, was bedeutet, dass die Variable nur bestimmte Werte in einer (möglicherweise unendlichen) Liste annehmen kann. Anders ausgedrückt: Die Variable kann nicht alle Werte in einem kontinuierlichen Bereich annehmen. Bei der Poisson-Verteilung (einer diskreten Verteilung) kann die Variable nur die Werte 0, 1, 2, 3 usw. ohne Brüche oder Dezimalstellen annehmen.
Die zentralen Thesen
- Eine Poisson-Verteilung kann verwendet werden, um zu messen, wie oft ein Ereignis wahrscheinlich innerhalb eines „X“-Zeitraums auftritt, benannt nach dem Mathematiker Siméon Denis Poisson.
- Poisson-Verteilungen werden daher verwendet, wenn der interessierende Faktor eine diskrete Zählvariable ist.
- Viele Wirtschafts- und Finanzdaten erscheinen als Zählvariablen, beispielsweise wie oft eine Person in einem bestimmten Jahr arbeitslos wird, und eignen sich daher für eine Analyse mit einer Poisson-Verteilung.
Poisson-Verteilungen verstehen
Eine Poisson- Normalverteilung nicht funktionieren würden.
Eine der bekanntesten historischen und praktischen Anwendungen der Poisson-Verteilung war die Schätzung der jährlichen Anzahl preußischer Kavalleriesoldaten, die durch Tritte getötet wurden. Andere moderne Beispiele umfassen die Schätzung der Anzahl von Autounfällen in einer Stadt einer bestimmten Größe; In der Physiologie wird diese Verteilung häufig verwendet, um die wahrscheinlichkeitstheoretischen Häufigkeiten verschiedener Arten von Neurotransmitter-Sekretionen zu berechnen. Oder, wenn eine Videothek jeden Freitagabend durchschnittlich 400 Kunden hat, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem bestimmten Freitagabend 600 Kunden kommen?
Die Formel für die Poisson-Verteilung lautet
Wo:
- e ist die Eulersche Zahl ( e = 2.71828…)
- x ist die Anzahl der Vorkommen
- x! ist die Fakultät von x
- λ ist gleich dem Erwartungswert von x, wenn dieser auch gleich seiner Varianz ist
Bei Daten, die einer Poisson-Verteilung folgen, werden sie grafisch wie folgt angezeigt:
Nehmen wir in dem in der obigen Grafik dargestellten Beispiel an, dass ein Betriebsprozess eine Fehlerrate von 3% aufweist. Wenn wir weiterhin 100 zufällige Versuche annehmen; Die Poisson-Verteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, über einen bestimmten Zeitraum, beispielsweise an einem einzigen Tag, eine bestimmte Anzahl von Fehlern zu erhalten.
Wann sollte die Poisson-Verteilung im Finanzwesen verwendet werden?
Die Poisson-Verteilung wird auch häufig verwendet, um Finanzzählungsdaten zu modellieren, bei denen die Anzahl klein und häufig Null ist. Im Finanzbereich kann es beispielsweise verwendet werden, um die Anzahl der Trades zu modellieren, die ein typischer Anleger an einem bestimmten Tag tätigt, die 0 (oft) oder 1 oder 2 usw. sein kann.
Als weiteres Beispiel kann dieses Modell verwendet werden, um die Anzahl der „Schocks“ auf dem Markt vorherzusagen, die in einem bestimmten Zeitraum, sagen wir über ein Jahrzehnt, auftreten werden.