Kontinuierliche Zinseszinsen

Zinseszinsen sind Zinsen, die auf das ursprüngliche Kapital  und auch auf die aufgelaufenen Zinsen früherer Perioden einer Einlage oder eines Darlehens berechnet werden . Die Wirkung von Zinseszins hängt von der Häufigkeit ab.

Angenommen, ein jährlicher Zinssatz von 12%. Wenn wir das Jahr mit 100 USD beginnen und am Ende des Jahres nur einmal zusammensetzen, wächst der Kapitalbetrag auf 112 USD (100 USD x 1,12 USD = 112 USD). Wenn wir stattdessen jeden Monat mit 1% rechnen, erhalten wir am Jahresende mehr als 112 USD. Das heißt, 100 $ x 1,01 ^ 12 bei 112,68 $. (Es ist höher, weil wir häufiger zusammengesetzt haben.)

Kontinuierlich zusammengesetzte Renditen setzen sich am häufigsten zusammen. Kontinuierliche Aufzinsung ist die mathematische Grenze, die Zinseszins erreichen kann. Es handelt sich um einen Extremfall der Aufzinsung, da die meisten Zinsen monatlich, vierteljährlich oder halbjährlich zusammengesetzt werden.

Halbjährliche Renditen

Schauen wir uns zunächst eine möglicherweise verwirrende anleiheäquivalente Rendite (oder eine anleiheäquivalente Basis). Dies bedeutet, dass bei einer halbjährlichen Rendite einer Anleihe von 6% die anleiheäquivalente Rendite 12% beträgt.

Die halbjährliche Rendite wird einfach verdoppelt. Dies ist möglicherweise verwirrend, da die effektive Rendite einer 12% igen Anleihe mit äquivalenter Rendite 12,36% beträgt (dh 1,06 ^ 2 = 1,1236). Die Verdoppelung der halbjährlichen Rendite ist nur eine Namenskonvention für Anleihen. Wenn wir also von einer halbjährlich zusammengesetzten 8% igen Anleihe lesen, nehmen wir an, dass dies eine halbjährliche Rendite von 4% bedeutet.

Vierteljährliche, monatliche und tägliche Renditen

Lassen Sie uns nun höhere Frequenzen diskutieren. Wir gehen weiterhin von einem jährlichen Marktzins von 12% aus. Nach den Namenskonventionen für Anleihen bedeutet dies einen halbjährlichen Zinseszins von 6%. Wir können nun den vierteljährlichen Zinseszins als Funktion des Marktzinses ausdrücken.

Bei einem jährlichen Marktzins ( r) ergibt sich der vierteljährliche Zinseszins ( r q ) aus:

In unserem Beispiel, in dem der jährliche Marktzins 12% beträgt, beträgt der vierteljährliche Zinseszins 11,825%:

rq=4
.rq.=4[(2

Eine ähnliche Logik gilt für die monatliche Aufzinsung. Der monatliche Zinseszins ( r m ) wird hier als Funktion des jährlichen Marktzinses ( r) angegeben:

Der tägliche Zinseszins ( d) als Funktion des Marktzinses ( r) ergibt sich aus:

rd=360
rd..=360[(2

Wie Continuous Compounding funktioniert

Wenn wir die zusammengesetzte Frequenz bis an ihre Grenze erhöhen, setzen wir kontinuierlich zusammen. Während dies möglicherweise nicht praktikabel ist, bietet der kontinuierlich zusammengesetzte Zinssatz wunderbar günstige Eigenschaften. Es stellt sich heraus, dass der kontinuierlich zusammengesetzte Zinssatz gegeben ist durch:

Ln () ist das natürliche Protokoll und in unserem Beispiel ist die kontinuierlich zusammengesetzte Rate daher:

rcÖntichnuÖus=ln⁡((1+0.12)=ln⁡((1.12)≅11.33%.\ begin {align} & r_ {stetig} = \ ln (1 + 0,12) = \ ln (1,12) \ cong 11,33 \% \\ \ end {align}.rcontinuous.=ln(1+0.12)=ln(1.12)≅11.33%.

Wir kommen an die gleiche Stelle, indem wir das natürliche Protokoll dieses Verhältnisses nehmen: den Endwert geteilt durch den Startwert.

rcÖntichnuÖus=ln⁡((ValueEndValueStart)=ln⁡((112100)≅11.33%.\ begin {align} & r_ {stetig} = \ ln \ left (\ frac {\ text {Wert} _ \ text {End}} {\ text {Wert} _ \ text {Start}} \ right) = \ ln \ left (\ frac {112} {100} \ right) \ cong 11.33 \% \\ \ end {align}.rcontinuous.=ln((WertAnfang.

Letzteres ist üblich, wenn die kontinuierlich zusammengesetzte Rendite für eine Aktie berechnet wird. Wenn die Aktie beispielsweise von 10 USD an einem Tag auf 11 USD am nächsten Tag springt, ergibt sich die kontinuierlich berechnete tägliche Rendite aus:

rcÖntichnuÖus=ln⁡((ValueEndValueStart)=ln⁡(($11$10)≅9.53%.\ begin {align} & r_ {stetig} = \ ln \ left (\ frac {\ text {Wert} _ \ text {End}} {\ text {Wert} _ \ text {Start}} \ right) = \ ln \ left (\ frac {\ $ 11} {\ $ 10} \ right) \ cong 9.53 \% \\ \ end {align}.rcontinuous.=ln((WertAnfang.

Was ist so großartig an der kontinuierlich zusammengesetzten Rate (oder Rendite), die wir mit r c bezeichnen werden? Erstens ist es einfach, es vorwärts zu skalieren. Bei einem Prinzip von (P) ergibt sich unser endgültiges Vermögen über (n) Jahre aus:

w=P.ercn\ begin {align} & w = Pe ^ {r_c n} \\ \ end {align}.w=Perc.n.

Beachten Sie, dass  e  die Exponentialfunktion ist. Wenn wir zum Beispiel mit 100 USD beginnen und über drei Jahre kontinuierlich bei 8% liegen, ergibt sich das endgültige Vermögen aus:

w=$100e((0.08)((3)=$127.12\ begin {align} & w = \ $ 100e ^ {(0.08) (3)} = \ $ 127.12 \\ \ end {align}.w=$100e(0.08)(3)=$127.12.

Die Abzinsung auf den Barwert (PV) erfolgt lediglich in umgekehrter Reihenfolge. Der Barwert eines zukünftigen Wertes (F), der kontinuierlich mit einer Rate von ( r c ) berechnet wird, ergibt sich aus:

PV oF F receiVed in (n), years=F.ercn=F.e- -rcn\ begin {align} & \ text {PV von F, empfangen in (n) Jahren} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ { -r_c n} \\ \ end {align}. PV von F in (n) Jahren erhalten=erc.n

Wenn Sie beispielsweise in drei Jahren 100 US-Dollar bei einem kontinuierlichen Zinssatz von 6% erhalten, ergibt sich der Barwert aus:

PV.=F.e- -rcn=(($100)e- -((0.06)((3)=$100e- -0.18≅$83.53\ begin {align} & \ text {PV} = Fe ^ { -r_c n} = (\ $ 100) e ^ { – (0.06) (3)} = \ $ 100 e ^ { -0.18} \ cong \ $ 83.53 \\ \ end {align}. PV=Fe-rc.n=($100)e-(0.06)(3)=$100e-0.18≅$83.53.

Skalierung über mehrere Zeiträume

Die bequeme Eigenschaft der kontinuierlich zusammengesetzten Renditen besteht darin, dass sie über mehrere Zeiträume skaliert werden. Wenn die Rendite für die erste Periode 4% und die Rendite für die zweite Periode 3% beträgt, beträgt die Rendite für zwei Perioden 7%. Stellen Sie sich vor, wir beginnen das Jahr mit 100 USD, die am Ende des ersten Jahres auf 120 USD und am Ende des zweiten Jahres auf 150 USD anwachsen. Die kontinuierlich zusammengesetzten Renditen betragen 18,23% bzw. 22,31%.

ln⁡((120100)≅18.23%.\ begin {align} & \ ln \ left (\ frac {120} {100} \ right) \ cong 18.23 \% \\ \ end {align}.ln((100

ln⁡((150120)≅22.31%.\ begin {align} & \ ln \ left (\ frac {150} {120} \ right) \ cong 22.31 \% \\ \ end {align}.ln((120

Wenn wir diese einfach addieren, erhalten wir 40,55%. Dies ist die Zwei-Perioden-Rendite:

ln⁡((150100)≅40.55%.\ begin {align} & \ ln \ left (\ frac {150} {100} \ right) \ cong 40.55 \% \\ \ end {align}.ln((100

Technisch gesehen ist die kontinuierliche Rückgabe zeitlich konsistent. Zeitkonsistenz ist eine technische Zufallsvariable ist, wir möchten, dass auch Mehrperioden-Zufallsvariablen normalverteilt sind. Darüber hinaus wird die kontinuierlich zusammengesetzte Mehrperiodenrendite normal verteilt (im Gegensatz beispielsweise zu einer einfachen prozentualen Rendite).

Das Fazit

Wir können die jährlichen Zinssätze in halbjährliche, vierteljährliche, monatliche oder tägliche Zinssätze (oder Renditen) umformulieren. Die häufigste Compoundierung ist die kontinuierliche Compoundierung, bei der wir ein natürliches Protokoll und eine Exponentialfunktion verwenden müssen, die aufgrund ihrer wünschenswerten Eigenschaften häufig im Finanzwesen verwendet werden. Sie lässt sich leicht über mehrere Zeiträume skalieren und ist zeitkonsistent.