Binomialverteilung

Was ist Binomialverteilung?

Die Binomialverteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit zusammenfasst, dass ein Wert unter einem bestimmten Satz von Parametern oder Annahmen einen von zwei unabhängigen Werten annimmt. Die zugrunde liegenden Annahmen der Binomialverteilung sind, dass es für jeden Versuch nur ein Ergebnis gibt, dass jeder Versuch die gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit hat und dass sich jeder Versuch gegenseitig ausschließt oder voneinander unabhängig ist.

Die Binomialverteilung verstehen

Die Binomialverteilung ist eine in der Statistik übliche diskrete Verteilung, im Gegensatz zu einer kontinuierlichen Verteilung wie der Normalverteilung. Dies liegt daran, dass die Binomialverteilung nur zwei Zustände zählt, die bei einer Anzahl von Versuchen in den Daten typischerweise als 1 (für einen Erfolg) oder 0 (für einen Fehler) dargestellt werden. Die Binomialverteilung stellt daher die Wahrscheinlichkeit für x Erfolge in n Versuchen dar, bei einer gegebenen Erfolgswahrscheinlichkeit p für jeden Versuch.

Die Binomialverteilung fasst die Anzahl der Versuche oder Beobachtungen zusammen, wenn jeder Versuch die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, einen bestimmten Wert zu erreichen. Die Binomialverteilung bestimmt die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl erfolgreicher Ergebnisse in einer bestimmten Anzahl von Versuchen zu beobachten.

Die Binomialverteilung wird in der sozialwissenschaftlichen Statistik häufig als Baustein für Modelle für dichotome Ergebnisvariablen verwendet, z. B. ob ein Republikaner oder Demokrat eine bevorstehende Wahl gewinnt oder ob eine Person innerhalb eines bestimmten Zeitraums stirbt usw.

Analyse der Binomialverteilung

Der Erwartungswert oder Mittelwert einer Binomialverteilung wird berechnet, indem die Anzahl der Versuche mit der Erfolgswahrscheinlichkeit multipliziert wird. Der erwartete Wert für die Anzahl der Köpfe in 100 Versuchen von head and tales beträgt beispielsweise 50 oder (100 * 0,5). Ein weiteres übliches Beispiel für die Binomialverteilung ist die Schätzung der Erfolgschancen für einen Freiwurfschützen im Basketball, wobei 1 = ein Korb gemacht wird und 0 = ein Fehlschuss.

Der Mittelwert der Binomialverteilung beträgt np und die Varianz der Binomialverteilung beträgt np (1 − p). Bei p = 0,5 ist die Verteilung symmetrisch um den Mittelwert. Bei p > 0,5 ist die Verteilung nach links schief. Bei p < 0,5 ist die Verteilung nach rechts schief.

Die Binomialverteilung ist die Summe einer Reihe von mehreren unabhängigen und identisch verteilten Bernoulli-Versuchen. In einem Bernoulli-Versuch gilt das Experiment als zufällig und kann nur zwei mögliche Ergebnisse haben: Erfolg oder Misserfolg.

Zum Beispiel gilt das Werfen einer Münze als Bernoulli-Versuch; jeder Versuch kann nur einen von zwei Werten annehmen (Kopf oder Zahl), jeder Erfolg hat die gleiche Wahrscheinlichkeit (die Wahrscheinlichkeit, einen Kopf umzudrehen ist 0,5) und die Ergebnisse eines Versuchs beeinflussen nicht die Ergebnisse eines anderen. Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung, bei der die Anzahl der Versuche n = 1 ist.

Beispiel für Binomialverteilung

Die Binomialverteilung wird berechnet, indem die Erfolgswahrscheinlichkeit potenziert mit der Anzahl der Erfolge und die Misserfolgswahrscheinlichkeit potenziert mit der Differenz zwischen der Anzahl der Erfolge und der Anzahl der Versuche multipliziert wird. Multiplizieren Sie dann das Produkt mit der Kombination zwischen der Anzahl der Versuche und der Anzahl der Erfolge.

Nehmen wir zum Beispiel an, dass ein Casino ein neues Spiel erstellt hat, bei dem die Teilnehmer Wetten auf die Anzahl von Kopf oder Zahl bei einer bestimmten Anzahl von Münzwürfen platzieren können. Angenommen, ein Teilnehmer möchte eine Wette von 10 $ platzieren, dass bei 20 Münzwürfen genau sechs Köpfe liegen. Der Teilnehmer möchte die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass dies eintritt, und verwendet daher die Berechnung für die Binomialverteilung.

Die Wahrscheinlichkeit wurde wie folgt berechnet: (20! / (6! * (20 – 6)!)) * (0.50)^(6) * (1 – 0.50) ^ (20 – 6). Folglich beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass bei 20 Münzwürfen genau sechs Köpfe vorkommen, 0,037 oder 3,7 %. Der erwartete Wert war in diesem Fall 10 Köpfe, also hat der Teilnehmer eine schlechte Wette gemacht.