Quartil

Was ist ein Quartil?

Ein Quartil ist ein statistischer Begriff, der eine Aufteilung von Beobachtungen in vier definierte Intervalle basierend auf den Werten der Daten und deren Vergleich mit dem gesamten Beobachtungssatz beschreibt.

Quartile verstehen

Um das Quartil zu verstehen, ist es wichtig, den Median  als  Maß für die zentrale Tendenz zu verstehen . Der Median in der Statistik ist der Mittelwert einer Reihe von Zahlen. Es ist der Punkt, an dem genau die Hälfte der Daten unter und über dem Zentralwert liegt.

Bei einem Satz von 13 Zahlen wäre der Median also die siebte Zahl. Die sechs Zahlen vor diesem Wert sind die niedrigsten Zahlen in den Daten, und die sechs Zahlen nach dem Median sind die höchsten Zahlen im angegebenen Datensatz. Da der Median nicht von Extremwerten oder Ausreißern in der Verteilung beeinflusst wird, wird er manchmal dem Mittelwert vorgezogen .

Der Median ist ein robuster Standortschätzer, sagt jedoch nichts darüber aus, wie die Daten auf beiden Seiten ihres Werts verteilt oder verteilt werden. Hier kommt das Quartil ins Spiel. Das Quartil misst die Streuung von Werten über und unter dem Mittelwert, indem es die Verteilung in vier Gruppen aufteilt.

Wie Quartile funktionieren

So wie der Median die Daten halbiert, sodass 50 % des Messwerts unter dem Median und 50 % darüber liegen, zerlegt das Quartil die Daten in Viertel, sodass 25 % der Messwerte kleiner als das untere Quartil sind, 50 % liegen unter dem Median und 75 % unter dem oberen Quartil.

Ein Quartil unterteilt Daten in drei Punkte – ein unteres Quartil, einen Median und ein oberes Quartil – um vier Gruppen des Datensatzes zu bilden. Das untere Quartil oder erste Quartil wird als Q1 bezeichnet und ist die mittlere Zahl, die zwischen dem kleinsten Wert des Datensatzes und dem Median liegt. Das zweite Quartil, Q2, ist auch der Median. Das obere oder dritte Quartil, als Q3 bezeichnet, ist der zentrale Punkt, der zwischen dem Median und der höchsten Zahl der Verteilung liegt.

Jetzt können wir die vier aus den Quartilen gebildeten Gruppen abbilden. Die erste Wertegruppe enthält die kleinste Zahl bis Q1; die zweite Gruppe umfasst Q1 zum Median; der dritte Satz ist der Median zu Q3; die vierte Kategorie umfasst Q3 bis zum höchsten Datenpunkt des gesamten Satzes.

Jedes Quartil enthält 25 % der Gesamtbeobachtungen. Im Allgemeinen sind die Daten vom kleinsten zum größten angeordnet:

1. Erstes Quartil : die niedrigsten 25% der Zahlen
2. Zweites Quartil : zwischen 25,1 % und 50 % (bis zum Median)
3. Drittes Quartil : 50,1 % bis 75 % (über dem Median)
4. Viertes Quartil : die höchsten 25 % der Zahlen

Beispiel für Quartil

Angenommen, die Verteilung der Mathematikergebnisse in einer Klasse von 19 Schülern in aufsteigender Reihenfolge ist:

• 59, 60, 65, 65, 68, 69, 70, 72, 75, 75, 76, 77, 81, 82, 84, 87, 90, 95, 98

Zuerst Markierung auf der Median, Q2, die in diesem Fall ist die 10 – ten Wert: 75.

Q1 ist der zentrale Punkt zwischen der kleinsten Punktzahl und dem Median. In diesem Fall liegt Q1 zwischen dem ersten und fünften Wert: 68. (Beachten Sie, dass der Median auch bei der Berechnung von Q1 oder Q3 für einen ungeraden Satz von Werten berücksichtigt werden kann. Wenn wir den Median auf beiden Seiten des Mittelpunkts einbeziehen würden, dann Q1 wird der Mittelwert zwischen den ersten und 10 seinem th Partitur, die der Durchschnitt des fünften und sechsten Score ist (fünfter sechste +) / 2 = (68 + 69) / 2 = 68,5).

Q3 ist der Mittelwert zwischen Q2 und der höchsten Punktzahl: 84. (Oder wenn Sie den Median einbeziehen, Q3 = (82 + 84)/2 = 83).

Nachdem wir unsere Quartile haben, lassen Sie uns ihre Zahlen interpretieren. Eine Punktzahl von 68 (Q1) stellt das erste Quartil und ist die 25 – te  Perzentil. 68 ist der Median der unteren Hälfte der in den verfügbaren Daten festgelegten Punktzahl, d. h. der Median der Punktzahlen von 59 bis 75.

Q1 sagt uns, dass 25 % der Ergebnisse weniger als 68 und 75 % der Klassenergebnisse höher sind. Q2 (der Medianwert) ist die 50 – te  Perzentil und zeigt, dass 50% der Werte weniger ist als 75 und 50% der Werte liegen über 75. Schließlich, Q3, der 75 – te Perzentil, zeigt, dass 25% der Werte ist größer und 75% sind kleiner als 84.

Besondere Überlegungen

Wenn der Datenpunkt für Q1 weiter vom Median entfernt ist als Q3 vom Median, können wir sagen, dass die Streuung zwischen den kleineren Werten des Datensatzes größer ist als zwischen den größeren Werten. Die gleiche Logik gilt, wenn Q3 weiter von Q2 entfernt ist als Q1 vom Median.

Bei einer geraden Anzahl von Datenpunkten ist der Median alternativ der Durchschnitt der mittleren beiden Zahlen. In unserem obigen Beispiel, wenn wir 20 Schüler hatten statt 19, wird der Median ihrer Partituren sein das  arithmetische Mittel  der 10 – ten und 11 – ten Zahlen.

Quartile werden verwendet, um den Interquartilabstand zu berechnen, der ein Maß für die Variabilität um den Median ist. Der Interquartilbereich wird einfach als Differenz zwischen dem ersten und dritten Quartil berechnet: Q3 – Q1. Tatsächlich ist es der Bereich der mittleren Hälfte der Daten, der zeigt, wie verteilt die Daten sind.

Für große Datensätze verfügt Microsoft Excel über eine QUARTILE-Funktion zum Berechnen von Quartilen.