Dauer und Konvexität zur Messung des Anleiherisikos

Was sind Dauer und Konvexität?

Duration und Konvexität sind zwei Instrumente zur Steuerung des Risikos von festverzinslichen Anlagen. Die Duration misst die Empfindlichkeit der Anleihe gegenüber Zinsänderungen. Konvexität bezieht sich auf die Wechselwirkung zwischen dem Preis einer Anleihe und ihrer Rendite, wenn sich die Zinssätze ändern.

Bei Kuponanleihen verlassen sich Anleger auf eine Metrik, die als Duration bezeichnet wird, um die Preissensitivität einer Anleihe gegenüber Zinsänderungen zu messen. Da eine Kuponanleihe über ihre Laufzeit eine Reihe von Zahlungen leistet, benötigen festverzinsliche Anleger Möglichkeiten, die durchschnittliche Laufzeit des versprochenen Cashflows einer Anleihe zu messen, um als zusammenfassende Statistik der effektiven Laufzeit der Anleihe zu dienen. Die Duration erreicht dies und ermöglicht es festverzinslichen Anlegern, die Unsicherheit bei der Verwaltung ihrer Portfolios effektiver einzuschätzen.

Laufzeit einer Anleihe

1938 nannte der kanadische Ökonom Frederick Robertson Macaulay das Konzept der effektiven Laufzeit die „Laufzeit“ der Anleihe. Dabei schlug er vor, diese Duration als gewichteten Durchschnitt der Restlaufzeiten jedes von der Anleihe geleisteten Kupons oder der Hauptzahlung zu berechnen. Macaulays Dauerformel lautet wie folgt:

Dauer im Fixed Income Management

Dauer ist entscheidend für die Verwaltung von festverzinslichen Portfolios, aus den folgenden Gründen:

1. Es ist eine einfache zusammenfassende Statistik der effektiven durchschnittlichen Laufzeit eines Portfolios.
2. Es ist ein wichtiges Instrument in immunisierenden Portfolios aus Zinsrisiko.
3. Es schätzt die Zinssensitivität eines Portfolios.

Die Dauer-Metrik weist die folgenden Eigenschaften auf:

• Die Laufzeit einer Nullkuponanleihe entspricht der Restlaufzeit.
• Wenn die Laufzeit konstant gehalten wird, ist die Laufzeit einer Anleihe geringer, wenn die Kuponrate höher ist, da sich frühzeitig höhere Kuponzahlungen auswirken.
• Wenn der Kupon konstant gehalten wird, erhöht sich die Laufzeit einer Anleihe im Allgemeinen mit der Restlaufzeit. Es gibt jedoch Ausnahmen, wie bei Instrumenten wie Deep-Discount-Anleihen, bei denen die Duration mit zunehmenden Laufzeitplänen sinken kann.
• Wenn andere Faktoren konstant gehalten werden, ist die Duration von Kuponanleihen höher, wenn die Renditen der Anleihen bis zur Fälligkeit niedriger sind. Bei Nullkuponanleihen entspricht die Duration jedoch der Restlaufzeit, unabhängig von der Rendite bis zur Fälligkeit.
• Die Dauer der Level- Ewigkeit beträgt (1 + y) / y. Beispielsweise beträgt bei einer Rendite von 10% die Dauer der Ewigkeit, die jährlich 100 USD zahlt, 1,10 / 0,10 = 11 Jahre. Bei einer Ausbeute von 8% entspricht dies jedoch 1,08 / 0,08 = 13,5 Jahren. Dieses Prinzip macht deutlich, dass Laufzeit und Laufzeit sehr unterschiedlich sein können. Ein typisches Beispiel: Die Laufzeit der Ewigkeit ist unendlich, während die Laufzeit des Instruments bei einer Rendite von 10% nur 11 Jahre beträgt. Der Barwert-gewichtete Cashflow zu Beginn des Lebens der Ewigkeit dominiert die Berechnung der Duration.

Dauer für das Gap Management

Viele Banken weisen Inkongruenzen zwischen Aktiv- und Passivlaufzeiten auf. Bankverbindlichkeiten, bei denen es sich in erster Linie um Einlagen gegenüber Kunden handelt, sind in der Regel kurzfristiger Natur und weisen eine geringe Laufzeitstatistik auf. Im Gegensatz dazu besteht das Vermögen einer Bank hauptsächlich aus ausstehenden Handels und Konsumentenkrediten oder -hypotheken. Diese Vermögenswerte sind in der Regel längerfristig und ihre Werte reagieren empfindlicher auf Zinsschwankungen. In Zeiten, in denen die Zinssätze unerwartet steigen, können Banken einen drastischen Rückgang des Nettovermögens erleiden, wenn ihre Vermögenswerte weiter an Wert verlieren als ihre Verbindlichkeiten.

Eine Technik namens Gap Management ist ein weit verbreitetes Risikomanagementinstrument, bei dem Banken versuchen, die „Lücke“ zwischen Aktiv- und Passivdauer zu begrenzen. Das Gap-Management stützt sich in hohem Maße auf variabel verzinsliche Hypotheken (ARMs) als Schlüsselkomponenten zur Verkürzung der Duration von Bank-Asset-Portfolios. Im Gegensatz zu herkömmlichen Hypotheken verlieren ARMs nicht an Wert, wenn die Marktzinsen steigen, da die von ihnen gezahlten Zinssätze an den aktuellen Zinssatz gebunden sind.

Auf der anderen Seite der Bilanz, die Einführung von längerfristigen Bankeinlagenzertifikaten (CDs) mit einem festen Laufzeit bis zur Fälligkeit, dient die Dauer der Bankverbindlichkeiten zu verlängern, ebenfalls auf die Reduzierung der Dauer Lücke beitragen.

Grundlegendes zum Gap Management

Banken beschäftigen Lücke Management die Dauer von Vermögenswerten und Schulden gleichzusetzen, effektiv ihre Gesamtposition von immunisierenden Zinsbewegungen. Theoretisch sind die Aktiva und Passiva einer Bank ungefähr gleich groß. Wenn ihre Laufzeit ebenfalls gleich ist, wirkt sich eine Änderung der Zinssätze in gleichem Maße auf den Wert von Vermögenswerten und Verbindlichkeiten aus, und Zinsänderungen hätten folglich nur geringe oder keine endgültigen Auswirkungen auf das Nettovermögen. Daher erfordert eine vermögende Immunisierung eine Portfoliodauer oder -lücke von Null.

Institute mit künftigen festen Verpflichtungen wie Pensionskassen und Versicherungsunternehmen unterscheiden sich von Banken darin, dass sie mit Blick auf künftige Verpflichtungen operieren. Zum Beispiel sind Pensionsfonds verpflichtet, ausreichende Mittel zu unterhalten, um den Arbeitnehmern bei der Pensionierung einen Einkommensfluss zu ermöglichen. Wenn die Zinssätze schwanken, schwanken auch der Wert der vom Fonds gehaltenen Vermögenswerte und die Rate, zu der diese Vermögenswerte Erträge erzielen. Daher möchten Portfoliomanager möglicherweise den künftigen kumulierten Wert des Fonds zu einem bestimmten Zeitpunkt gegen Zinsbewegungen schützen (immunisieren). Mit anderen Worten, die Impfung sichert die auf die Dauer abgestimmten Vermögenswerte und Verbindlichkeiten, sodass eine Bank ihren Verpflichtungen unabhängig von Zinsbewegungen nachkommen kann.

Konvexität im Fixed Income Management

Leider weist die Duration Einschränkungen auf, wenn sie als Maß für die Zinssensitivität verwendet wird. Während die Statistik eine lineare Beziehung zwischen Preis- und Renditeänderungen bei Anleihen berechnet, ist die Beziehung zwischen Preis- und Renditeänderungen in Wirklichkeit konvex.

Im Bild unten zeigt die gekrümmte Linie die Preisänderung bei einer Änderung der Renditen. Die gerade Kurve, die die Kurve tangiert, repräsentiert die geschätzte Preisänderung über die Durationsstatistik. Der schattierte Bereich zeigt den Unterschied zwischen der geschätzten Dauer und der tatsächlichen Preisbewegung. Wie angegeben, ist der Fehler bei der Schätzung der Preisänderung der Anleihe umso größer, je größer die Änderung der Zinssätze ist.

Die Konvexität, ein Maß für die Krümmung der Preisänderungen einer Anleihe in Bezug auf Änderungen der Zinssätze, behebt diesen Fehler, indem sie die Änderung der Duration bei schwankenden Zinssätzen misst. Die Formel lautet wie folgt:

C.=d2((B.((r))B.∗d∗r2where:C.=convexityB.=the bond pricer=the interest rated=duration\ begin {align} & C = \ frac {d ^ 2 \ left (B \ left (r \ right) \ right)} {B * d * r ^ 2} \\ & \ textbf {where:} \\ & C = \ text {Konvexität} \\ & B = \ text {der Anleihepreis} \\ & r = \ text {der Zinssatz} \\ & d = \ text {Duration} \\ \ end {align}. C.=B.∗d∗r2

Im Allgemeinen ist die Konvexität umso geringer, je höher der Kupon ist, da eine 5% -Anleihe empfindlicher auf Zinsänderungen reagiert als eine 10% -Anleihe. Aufgrund der Call – Funktion, Optionsanleihen wird angezeigt negativen Konvexität, wenn die Renditen zu niedrig fallen, verringert sich die Dauer Bedeutung, wenn die Renditen sinken. Nullkuponanleihen weisen die höchste Konvexität auf, wobei Beziehungen nur dann gültig sind, wenn die verglichenen Anleihen die gleiche Laufzeit und Rendite bis zur Fälligkeit haben. Hervorgehoben: Eine Anleihe mit hoher Konvexität reagiert empfindlicher auf Änderungen der Zinssätze und sollte folglich größere Preisschwankungen aufweisen, wenn sich die Zinssätze bewegen.

Das Gegenteil gilt für Anleihen mit niedriger Konvexität, deren Preise bei Zinsänderungen nicht so stark schwanken. Wenn diese Beziehung in einem zweidimensionalen Diagramm grafisch dargestellt wird, sollte sie eine lang abfallende U-Form erzeugen (daher der Begriff „konvex“).

Niedrigkupon- und Nullkuponanleihen, die tendenziell niedrigere Renditen aufweisen, weisen die höchste Volatilität der Zinssätze auf. In technischer Hinsicht bedeutet dies, dass die Anpassung erfordert, um mit der höheren Preisänderung nach Zinsänderungen Schritt zu halten. Niedrigere Kuponraten führen zu niedrigeren Renditen, und niedrigere Renditen führen zu höheren Konvexitätsgraden.

Das Fazit

Sich ständig ändernde Zinssätze führen zu Unsicherheiten bei festverzinslichen Anlagen. Duration und Konvexität ermöglichen es den Anlegern, diese Unsicherheit zu quantifizieren und ihre festverzinslichen Portfolios zu verwalten.