Grundlagen der Binomialverteilung

Auch wenn Sie die Binomialverteilung nicht dem Namen nach kennen und noch nie an einem Statistikkurs für Fortgeschrittene teilgenommen haben, verstehen Sie sie von Natur aus. Wirklich, das tust du. Es ist eine Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit zu bewerten, dass ein diskretes Ereignis entweder eintritt oder nicht eintritt. Und es gibt viele Anwendungen im Finanzbereich. So funktioniert das:

Sie beginnen damit, dass Sie etwas versuchen – Münzwürfe, Freiwürfe, Roulette-Raddrehungen, was auch immer. Die einzige Einschränkung besteht darin, dass das fragliche Etwas genau zwei mögliche Ergebnisse haben muss. Erfolg oder Misserfolg, das war’s. (Ja, ein Roulette-Rad hat 38 mögliche Ergebnisse. Aber aus der Sicht eines Wettenden gibt es nur zwei. Sie werden entweder gewinnen oder verlieren.)

Wir werden für unser Beispiel Freiwürfe verwenden, weil sie etwas interessanter sind als die exakte und unveränderliche 50%ige Chance, dass eine Münze Kopf landet. Angenommen, Sie sind Dirk Nowitzki von den Dallas Mavericks, der in der Saison 2017/2018 89,8 % seiner Freiwürfe erzielte. Wir nennen es für unsere Zwecke 90%. Wenn Sie ihn jetzt an die Linie bringen würden, wie stehen die Chancen, dass er (mindestens) neun von 10 trifft?

Nein, sie sind nicht 100%. 90 % sind es auch nicht.

Sie sind 74%, ob Sie es glauben oder nicht. Hier ist die Formel. Wir sind hier alle erwachsen, vor Exponenten und griechischen Buchstaben braucht man keine Angst zu haben:

 n ist die Anzahl der Versuche. In diesem Fall 10.

 i ist die Anzahl der Erfolge, die entweder neun oder 10 beträgt. Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit für jeden und addieren sie dann.

p ist die Erfolgswahrscheinlichkeit jedes einzelnen Ereignisses, die 0,9 beträgt.

Die Chance, das Ziel, also die binomiale Verteilung von Erfolgen und Misserfolgen, zu erreichen, ist:

Abhilfe bei der mathematischen Notation, wenn Sie die Begriffe in diesem Ausdruck weiter aufgeschlüsselt benötigen:

(neinich)=nein!(nein−ich)!ich!\begin{aligned}&\left(\begin{matrix}n\\i\end{matrix}\right)=\frac{n!}{(ni)!i!}\end{aligned}​(neinich​)=(nein−ich)!ich!

Das ist das „Binomial“ in der Binomialverteilung: dh zwei Terme. Wir sind nicht nur an der Anzahl der Erfolge oder der Anzahl der Versuche interessiert, sondern an beiden. Jeder ist ohne den anderen für uns nutzlos.

Bessere mathematische Notation:! ist faktoriell: Multiplizieren einer positiven ganzen Zahl mit jeder kleineren positiven ganzen Zahl. Beispielsweise,

Setzen Sie die Zahlen ein und denken Sie daran, dass wir sowohl nach 9 von 10 Freiwürfen als auch nach 10 von 10 auflösen müssen, und wir erhalten

(10!9!1!