T Verteilungsdefinition

Was ist eine T-Verteilung?

Die T-Verteilung, auch Student-t-Verteilung genannt, ist eine Art von Wahrscheinlichkeitsverteilung, die mit ihrer Glockenform der Normalverteilung ähnelt, jedoch stärkere Ausläufer hat. T-Verteilungen haben eine größere Chance für Extremwerte als Normalverteilungen, daher die dickeren Schwänze.

Was sagt Ihnen eine T-Verteilung?

Die Tail-Schwere wird durch einen Parameter der T-Verteilung namens Freiheitsgrade bestimmt, wobei kleinere Werte schwerere Tails ergeben und höhere Werte die T-Verteilung einer Standardnormalverteilung mit einem Mittelwert von 0 und einer Standardabweichung von 1 ähneln Die T-Verteilung ist auch als „T-Verteilung des Studenten“ bekannt.

Wenn eine Stichprobe von n Beobachtungen aus einer normalverteilten Grundgesamtheit mit Mittelwert M und Standardabweichung D entnommen wird, unterscheiden sich der Stichprobenmittelwert m und die Stichprobenstandardabweichung d aufgrund der Zufälligkeit der Stichprobe von M und D.

Ein z-Score kann mit der Standardabweichung der Grundgesamtheit als Z = (x – M)/D berechnet werden, und dieser Wert hat die Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Aber wenn die geschätzte Standardabweichung verwendet wird, ein t-Score wird berechnet als T = (m – M)/{d/sqrt(n)}, die Differenz zwischen d und D macht die Verteilung zu einer T-Verteilung mit (n – 1) Freiheitsgraden anstatt zur Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1.

Beispiel für die Verwendung einer T-Verteilung

Nehmen Sie das folgende Beispiel für die Verwendung von t-Verteilungen in statistischen Analysen. Denken Sie zunächst daran, dass ein Konfidenzintervall für den Mittelwert ein Wertebereich ist, der aus den Daten berechnet wird, um einen Mittelwert der Grundgesamtheit zu erfassen. Dieses Intervall ist m +-t*d/sqrt(n), wobei t ein kritischer Wert aus der T-Verteilung ist.

Ein Konfidenzintervall von 95 % für die mittlere Rendite des Dow Jones Industrial Average in den 27 Handelstagen vor dem 11.09.2001 beträgt -0,33 % (+/- 2,055) * 1,07 / sqrt(27), ergibt eine (persistente) mittlere Rendite als eine Zahl zwischen -0,75 % und +0,09 %. Die Zahl 2.055, die Anzahl der Standardfehler, um die angepasst werden muss, ergibt sich aus der T-Verteilung.

Da die T-Verteilung fettere Schwänze aufweist als eine Normalverteilung, kann sie als Modell für Finanzrenditen verwendet werden, die eine übermäßige Kurtosis aufweisen, was in solchen Fällen eine realistischere Berechnung des Value-at-Risk ( VaR ) ermöglicht.

Der Unterschied zwischen einer T-Verteilung und einer Normalverteilung

Normalverteilungen werden verwendet, wenn die Populationsverteilung als normal angenommen wird. Die T-Verteilung ähnelt der Normalverteilung, nur mit dickeren Schwänzen. Beide gehen von einer normalverteilten Population aus. T-Verteilungen haben eine höhere Kurtosis als normale Verteilungen. Die Wahrscheinlichkeit, sehr weit vom Mittelwert entfernte Werte zu erhalten, ist bei einer T-Verteilung größer als bei einer Normalverteilung.

Einschränkungen bei der Verwendung einer T-Verteilung

Die T-Verteilung kann die Genauigkeit relativ zur Normalverteilung verzerren. Ihr Manko entsteht nur, wenn es um vollkommene Normalität geht. Der Unterschied zwischen der Verwendung einer Normal- und einer T-Verteilung ist jedoch relativ gering.