Handel mit statistischen Gaußschen Modellen

Carl Friedrich Gauss war ein Wunderkind und ein brillanter Mathematiker, der im frühen 19. Jahrhundert lebte. Gauß ‚Beiträge umfassten quadratische Gleichungen, die Analyse der kleinsten Quadrate und die Normalverteilung. Obwohl die Normalverteilung bereits Mitte des 18. Jahrhunderts aus den Schriften von Abraham de Moivre bekannt war, wird Gauß häufig die Entdeckung zugeschrieben, und die Normalverteilung wird häufig als Gaußsche Verteilung bezeichnet.

Ein Großteil der statistischen Untersuchungen stammt von Gauß, und seine Modelle werden auf Finanzmärkte, Preise und Wahrscheinlichkeiten angewendet. Die heutige Terminologie definiert die Normalverteilung als Glockenkurve mit Mittelwert- und Varianzparametern. Dieser Artikel erklärt die Glockenkurve und wendet das Konzept auf den Handel an.

Messzentrum: Mittelwert, Median und Modus

Messungen des Verteilungszentrums umfassen den Mittelwert, den Median und den Modus. Der Mittelwert, der einfach ein Durchschnitt ist, wird erhalten, indem alle Bewertungen addiert und durch die Anzahl der Bewertungen dividiert werden. Der Median wird erhalten, indem die beiden mittleren Zahlen einer geordneten Stichprobe addiert und durch zwei geteilt werden (bei einer geraden Anzahl von Datenwerten) oder einfach nur der mittlere Wert (bei einer ungeraden Anzahl von Datenwerten). Der Modus ist die häufigste Zahl in einer Werteverteilung.

Theoretisch sind Median, Modus und Mittelwert für eine Normalverteilung identisch. Bei Verwendung von Daten ist der Mittelwert jedoch die bevorzugte Messung des Zentrums unter diesen drei. Wenn die Werte einer normalen (Gaußschen) Verteilung folgen, fallen 68% aller Bewertungen innerhalb von -1 und +1 Standardabweichungen (des Mittelwerts), 95% innerhalb von zwei Standardabweichungen und 99,7% innerhalb von drei Standardabweichungen. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz, die die Streuung einer Verteilung misst.

Gaußsches Modell zum Handel

Die Standardabweichung misst die Volatilität und bestimmt, welche Renditeentwicklung zu erwarten ist. Kleinere Standardabweichungen bedeuten ein geringeres Risiko für eine Investition, während höhere Standardabweichungen ein höheres Risiko bedeuten. Händler können die Schlusskurse als Differenz zum Mittelwert messen. Eine größere Differenz zwischen dem tatsächlichen Wert und dem Mittelwert deutet auf eine höhere Standardabweichung und damit auf eine höhere Volatilität hin.

Preise, die weit vom Mittelwert abweichen, könnten zum Mittelwert zurückkehren, so dass Händler diese Situationen nutzen können, und Preise, die in einem kleinen Bereich gehandelt werden, könnten für einen Ausbruch bereit sein. Der häufig verwendete technische Indikator für Standardabweichungsgeschäfte ist das Bollinger Band®, da es ein Maß für die Volatilität ist, das auf zwei Standardabweichungen für obere und untere Bänder mit einem gleitenden 21-Tage-Durchschnitt festgelegt ist.

Schrägstellung und Kurtosis

Die Daten folgen normalerweise nicht dem genauen Glockenkurvenmuster der Normalverteilung. Schiefe und Kurtosis sind Maßzahlen dafür, wie Daten von diesem idealen Muster abweichen. Die Schiefe misst die Asymmetrie der Schwänze der Verteilung: Eine positive Schiefe enthält Daten, die auf der oberen Seite des Mittelwerts weiter abweichen als auf der niedrigen Seite. Das Gegenteil gilt für den negativen Versatz.

Während sich die Schiefe auf das Ungleichgewicht der Schwänze bezieht, betrifft die Kurtosis das Ende der Schwänze, unabhängig davon, ob sie über oder unter dem Mittelwert liegen. Eine leptokurtische Verteilung weist eine positive überschüssige Kurtosis auf und weist Datenwerte auf, die extremer sind (in beiden Schwänzen) als durch die Normalverteilung vorhergesagt (z. B. fünf oder mehr Standardabweichungen vom Mittelwert). Eine negative überschüssige Kurtosis, die als Platykurtose bezeichnet wird, ist durch eine Verteilung mit Extremwertcharakter gekennzeichnet, die weniger extrem ist als die der Normalverteilung.

Als Anwendung von Schiefe und Kurtosis erfordert die Analyse von festverzinslichen Wertpapieren beispielsweise eine sorgfältige statistische Analyse, um die Volatilität eines Portfolios bei variierenden Zinssätzen zu bestimmen. Modelle, die die Bewegungsrichtung vorhersagen, müssen Schiefe und Kurtosis berücksichtigen, um die Performance eines Anleihenportfolios vorherzusagen. Diese statistischen Konzepte können weiter angewendet werden, um Preisbewegungen für viele andere Finanzinstrumente wie Aktien, Optionen und Währungspaare zu bestimmen.