Freiheitsgrade

Was sind Freiheitsgrade?

Freiheitsgrade beziehen sich auf die maximale Anzahl logisch unabhängiger Werte in der Datenstichprobe, bei denen es sich um Werte handelt, die frei variieren können.

Freiheitsgrade verstehen

Der einfachste Weg, Freiheitsgrade konzeptionell zu verstehen, ist durch ein Beispiel:

• Betrachten Sie eine Datenstichprobe, die der Einfachheit halber aus fünf positiven ganzen Zahlen besteht. Die Werte können eine beliebige Zahl sein, ohne dass eine Beziehung zwischen ihnen bekannt ist. Diese Datenprobe hätte theoretisch fünf Freiheitsgrade.
• Vier der Zahlen in der Stichprobe sind {3, 8, 5 und 4} und der Durchschnitt der gesamten Datenstichprobe ist 6.
• Dies muss bedeuten, dass die fünfte Zahl 10 sein muss. Es kann nichts anderes sein. Es hat keine Variationsfreiheit.
• Die Freiheitsgrade für diese Datenprobe sind also 4.

Die Formel für Freiheitsgrade entspricht der Größe der Datenstichprobe minus eins:

Freiheitsgrade werden häufig in Bezug auf verschiedene Formen der Hypothesenprüfung in der Statistik diskutiert, wie zum Beispiel ein Chi-Quadrat. Es ist wichtig, Freiheitsgrade zu berechnen, wenn man versucht, die Bedeutung einer Chi-Quadrat-Statistik und die Gültigkeit der Nullhypothese zu verstehen.

Chi-Quadrat-Tests

Es gibt zwei verschiedene Arten von Chi-Quadrat-Tests : den Unabhängigkeitstest, der eine Frage der Beziehung stellt, wie zum Beispiel „Gibt es einen Zusammenhang zwischen Geschlecht und SAT-Werten?“; und der Anpassungstest, der so etwas fragt wie „Wenn eine Münze 100 Mal geworfen wird, wird sie dann 50 Mal Kopf und 50 Mal Zahl treffen?“

Für diese Tests werden Freiheitsgrade verwendet, um zu bestimmen, ob eine bestimmte Nullhypothese basierend auf der Gesamtzahl der Variablen und Stichproben innerhalb des Experiments abgelehnt werden kann. Betrachtet man beispielsweise Studierende und die Kurswahl, ist eine Stichprobengröße von 30 oder 40 Studierenden wahrscheinlich nicht groß genug, um aussagekräftige Daten zu generieren. Es ist aussagekräftiger, gleiche oder ähnliche Ergebnisse aus einer Studie mit einer Stichprobengröße von 400 oder 500 Studenten zu erhalten.

Geschichte der Freiheitsgrade

Das früheste und grundlegendste Konzept der Freiheitsgrade wurde im frühen 19. Jahrhundert festgestellt, verflochten in den Werken des Mathematikers und Astronomen Carl Friedrich Gauß. Die moderne Verwendung und das Verständnis des Begriffs wurden zuerst von William Sealy Gosset, einem englischen Statistiker, in seinem Artikel „The Probable Error of a Mean“ erläutert, der 1908 in Biometrieka unter einem Pseudonym veröffentlicht wurde, um seine Anonymität zu wahren.

In seinen Schriften verwendet Gosset nicht ausdrücklich den Begriff „Freiheitsgrad“. Er gab jedoch im Laufe der Entwicklung dessen, was später als Student’s T-Verteilung bekannt wurde, eine Erklärung für das Konzept. Der eigentliche Begriff wurde erst 1922 populär. Der englische Biologe und Statistiker Ronald Fisher begann, den Begriff „Degrees of Freedom“ zu verwenden, als er anfing, Berichte und Daten über seine Arbeit zur Entwicklung von Chi-Quadraten zu veröffentlichen.