Das Black-Scholes-Modell, auch bekannt als Black-Scholes-Merton (BSM)-Modell, ist ein mathematisches Modell zur Preisbildung eines Optionskontrakts. Insbesondere schätzt das Modell die zeitliche Veränderung von Finanzinstrumenten.
Die zentralen Thesen
Das Black-Scholes Merton (BSM)-Modell ist eine Differentialgleichung, die verwendet wird, um nach Optionspreisen aufzulösen.
Das Black-Scholes-Modell wurde mit dem Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften ausgezeichnet.
Das Standard-BSM-Modell wird nur zur Preisbildung europäischer Optionen verwendet, da es nicht berücksichtigt, dass US-Optionen vor dem Verfallsdatum ausgeübt werden könnten.
Das Black-Scholes-Modell verstehen
Das Black-Scholes-Modell ist eines der wichtigsten Konzepte der modernen Finanztheorie. Es wurde 1973 von Fischer Black, Robert Merton und Myron Scholes entwickelt und ist bis heute weit verbreitet. Sie gilt als eine der besten Methoden, um den fairen Preis von Optionen zu bestimmen. Das Black-Scholes-Modell benötigt fünf Eingangsvariablen: den Ausübungspreis einer Option, den aktuellen Aktienkurs, die Verfallszeit, den risikofreien Zinssatz und die Volatilität.
Auch Black-Scholes-Merton (BSM) genannt, war es das erste weit verbreitete Modell für die Optionsbewertung. Es wird verwendet, um den theoretischen Wert von Optionen anhand der aktuellen Aktienkurse, der erwarteten Dividenden, des Ausübungspreises der Option, der erwarteten Zinssätze, der Laufzeit und der erwarteten Volatilität zu berechnen.
Die ursprüngliche Gleichung wurde 1973 in Black and Scholes‘ imJournal of Political Economy veröffentlichtem Papier „The Pricing of Options and Corporate Liabilities“ eingeführt . Black starb zwei Jahre bevor Scholes und Merton 1997 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften für ihre Arbeit bei der Suche nach einer neuen Methode zur Bestimmung des Werts von Derivaten erhielten.(Der Nobelpreis wird nicht posthum verliehen; das Nobelkomitee hat jedoch die Rolle von Black im Black-Scholes-Modell anerkannt.)
Black-Scholes postuliert, dass Instrumente wie Aktien oder Futures-Kontrakte nach einem Random Walk mit konstanter Drift und Volatilität eine lognormale Preisverteilung aufweisen. Unter Verwendung dieser Annahme und unter Berücksichtigung anderer wichtiger Variablen leitet die Gleichung den Preis einer Call-Option nach europäischem Vorbild ab.
Die Eingaben für die Black-Scholes-Gleichung sind die Volatilität, der Preis des Basiswerts, der Ausübungspreis der Option, die Zeit bis zum Verfall der Option und der risikofreie Zinssatz. Mit diesen Variablen ist es für Optionsverkäufer theoretisch möglich, rationale Preise für die von ihnen verkauften Optionen festzulegen.
Darüber hinaus sagt das Modell voraus, dass der Preis stark gehandelter Vermögenswerte einer geometrischen Brownschen Bewegung mit konstanter Drift und Volatilität folgt. Bei einer Aktienoption berücksichtigt das Modell die konstante Preisschwankung der Aktie, den Zeitwert des Geldes, den Ausübungspreis der Option und die Zeit bis zum Verfall der Option.
Black-Scholes-Annahmen
Das Black-Scholes-Modell macht bestimmte Annahmen:
Die Option ist europäisch und kann nur bei Verfall ausgeübt werden.
Während der Laufzeit der Option werden keine Dividenden ausgezahlt.
Märkte sind effizient (dh Marktbewegungen können nicht vorhergesagt werden).
Beim Kauf der Option fallen keine Transaktionskosten an.
Der risikofreie Zinssatz und die Volatilität des Basiswerts sind bekannt und konstant.
Die Renditen des Basiswerts sind logarithmisch normalverteilt.
Während das ursprüngliche Black-Scholes-Modell die Auswirkungen der während der Laufzeit der Option gezahlten Dividenden nicht berücksichtigte, wird das Modell häufig angepasst, um Dividenden zu berücksichtigen, indem der Wert ab Dividendendatum der zugrunde liegenden Aktie bestimmt wird. Das Modell wird auch von vielen Optionsverkäufern modifiziert, um die Auswirkungen von Optionen zu berücksichtigen, die vor Ablauf ausgeübt werden können. Alternativ verwenden Unternehmen ein Trinomialmodell oder das Bjerksund-Stensland Modell für die Preisgestaltung der am häufigsten gehandelten amerikanischen Optionen.
Black-Scholes-Formel
Die in der Formel enthaltene Mathematik ist kompliziert und kann einschüchternd wirken. Glücklicherweise müssen Sie die Mathematik nicht kennen oder verstehen, um die Black-Scholes-Modellierung in Ihren eigenen Strategien zu verwenden. Optionshändler haben Zugang zu einer Vielzahl von Online-Optionsrechnern, und viele der heutigen Handelsplattformen verfügen über robuste Optionsanalysetools, einschließlich Indikatoren und Tabellenkalkulationen, die die Berechnungen durchführen und die Optionspreiswerte ausgeben.
Die Black-Scholes-Call-Options-Formel wird berechnet, indem der Aktienkurs mit der kumulativen Standardnormalwahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion multipliziert wird. Danach wird der Nettobarwert (NPV) des Ausübungspreises multipliziert mit der kumulierten Standardnormalverteilung vom resultierenden Wert der vorherigen Berechnung abgezogen.
In mathematischer Schreibweise:
Volatilitätsverzerrung
Black-Scholes geht davon aus, dass die Aktienkurse einer lognormalen Verteilung folgen, da die Vermögenspreise nicht negativ sein können (sie sind durch Null begrenzt). Dies wird auch als Gaußsche Verteilung bezeichnet.
Oft Vermögenspreise signifikante Recht haben beobachtet Schiefe und einen gewissen Grad an Kurtosis (fat tails). Dies bedeutet, dass risikoreiche Abwärtsbewegungen auf dem Markt oft häufiger vorkommen, als eine Normalverteilung vorhersagt.
Die Annahme logarithmischer zugrunde liegender Vermögenspreise sollte zeigen, dass die impliziten Volatilitäten für jeden Ausübungspreis nach dem Black-Scholes-Modell ähnlich sind. Seit dem Marktcrash von 1987 waren die impliziten Volatilitäten für Optionen am Geld jedoch niedriger als diejenigen, die weiter außerhalb des Geldes oder weit im Geld liegen. Der Grund für dieses Phänomen ist, dass der Markt eine höhere Wahrscheinlichkeit einer Abwärtsbewegung hoher Volatilität an den Märkten einpreist.
Dies hat zum Auftreten der Volatilitätsverzerrung geführt. Wenn die impliziten Volatilitäten für Optionen mit demselben Verfallsdatum in einem Diagramm dargestellt werden, ist ein Lächeln oder eine schräge Form zu erkennen. Daher ist das Black-Scholes-Modell zur Berechnung der impliziten Volatilität nicht effizient.
Grenzen des Black-Scholes-Modells
Wie bereits erwähnt, wird das Black-Scholes-Modell nur zur Preisbildung europäischer Optionen verwendet und berücksichtigt nicht, dass US-Optionen vor dem Verfallsdatum ausgeübt werden könnten. Darüber hinaus geht das Modell davon aus, dass Dividenden und risikofreie Zinssätze konstant sind, was jedoch in der Realität möglicherweise nicht zutrifft. Das Modell geht auch davon aus, dass die Volatilität über die Laufzeit der Option konstant bleibt, was nicht der Fall ist, da die Volatilität mit dem Niveau von Angebot und Nachfrage schwankt.
Darüber hinaus die anderen Annahmen – dass keine Transaktionskosten oder Steuern anfallen; dass der risikolose Zinssatz für alle Laufzeiten konstant ist; dass Leerverkäufe von Wertpapieren unter Verwendung des Erlöses zulässig sind; und dass es keine risikolosen Arbitragemöglichkeiten gibt – kann zu Preisen führen, die von der realen Welt abweichen, in der diese Faktoren vorhanden sind.
Häufig gestellte Fragen
Was macht das Black-Scholes-Modell?
Black-Scholes, auch bekannt als Black-Scholes-Merton (BSM), war das erste weit verbreitete Modell zur Optionsbewertung. Basierend auf der Annahme, dass Instrumente wie Aktien oder Terminkontrakte nach einem zufälligen Spaziergang mit konstanter Drift und Volatilität eine logarithmische Normalverteilung der Preise aufweisen und andere wichtige Variablen berücksichtigen, leitet die Gleichung den Preis eines Calls nach europäischem Vorbild ab Möglichkeit. Dies geschieht durch Subtraktion des Nettobarwerts (NPV) des Ausübungspreises multipliziert mit der kumulativen Standardnormalverteilung vom Produkt des Aktienkurses und der kumulativen Standardnormalverteilungsfunktion.
Was sind die Eingaben für das Black-Scholes-Modell?
Die Eingaben für die Black-Scholes-Gleichung sind die Volatilität, der Preis des Basiswerts, der Ausübungspreis der Option, die Zeit bis zum Verfall der Option und der risikofreie Zinssatz. Mit diesen Variablen ist es für Optionsverkäufer theoretisch möglich, rationale Preise für die von ihnen verkauften Optionen festzulegen.
Welche Annahmen macht das Black-Scholes-Modell?
Das Black-Scholes-Modell macht bestimmte Annahmen. Die wichtigste davon ist, dass die Option europäisch ist und nur bei Verfall ausgeübt werden kann. Andere Annahmen sind, dass während der Laufzeit der Option keine Dividenden ausgeschüttet werden; Märkte sind effizient (dh Marktbewegungen können nicht vorhergesagt werden); dass beim Kauf der Option keine Transaktionskosten anfallen; dass der risikofreie Zinssatz und die Volatilität des Basiswerts bekannt und konstant sind; und dass die Renditen des zugrunde liegenden Vermögenswerts logarithmisch normal verteilt sind.
Was sind die Grenzen des Black-Scholes-Modells?
Das Black-Scholes-Modell wird nur zur Preisbildung europäischer Optionen verwendet und berücksichtigt nicht, dass US-Optionen vor dem Verfallsdatum ausgeübt werden könnten. Darüber hinaus geht das Modell davon aus, dass Dividenden und risikofreie Zinssätze konstant sind, was jedoch in der Realität möglicherweise nicht zutrifft. Das Modell geht auch davon aus, dass die Volatilität über die Laufzeit der Option konstant bleibt, was nicht der Fall ist, da die Volatilität mit dem Niveau von Angebot und Nachfrage schwankt.
Darüber hinaus die anderen Annahmen – dass keine Transaktionskosten oder Steuern anfallen; dass der risikolose Zinssatz für alle Laufzeiten konstant ist; dass Leerverkäufe von Wertpapieren unter Verwendung des Erlöses zulässig sind; und dass es keine risikolosen Arbitragemöglichkeiten gibt – kann zu Preisen führen, die von der realen Welt abweichen, in der diese Faktoren vorhanden sind.
