Trading mit Gaußschen Statistikmodellen

Carl Friedrich Gauß war ein Wunderkind und ein brillanter Mathematiker, der im frühen 19. Jahrhundert lebte. Gauß‘ Beiträge umfassten quadratische Gleichungen, die Analyse der kleinsten Quadrate und die Normalverteilung. Obwohl die Normalverteilung bereits Mitte des 18. Jahrhunderts aus den Schriften von Abraham de Moivre bekannt war, wird Gauss oft die Entdeckung zugeschrieben, und die Normalverteilung wird oft als Gaußsche Verteilung bezeichnet.

Ein Großteil des Studiums der Statistik stammt von Gauss, und seine Modelle werden auf Finanzmärkte, Preise und Wahrscheinlichkeiten angewendet. Die moderne Terminologie definiert die Normalverteilung als Glockenkurve mit Mittelwert- und Varianzparametern. Dieser Artikel erklärt die Glockenkurve und wendet das Konzept auf den Handel an.

Messzentrum: Mittelwert, Median und Modus

Maße des Zentrums einer Verteilung umfassen Mittelwert, Median und Modus. Der Mittelwert, der einfach ein Durchschnitt ist, wird durch Addieren aller Punktzahlen und Dividieren durch die Anzahl der Punktzahlen erhalten. Der Median wird erhalten, indem die beiden mittleren Zahlen einer geordneten Stichprobe addiert und durch zwei geteilt werden (bei einer geraden Anzahl von Datenwerten) oder einfach nur der mittlere Wert (bei einer ungeraden Anzahl von Datenwerten). Der Modus ist die häufigste Zahl in einer Werteverteilung.

Theoretisch sind Median, Modus und Mittelwert für eine Normalverteilung identisch. Bei der Verwendung von Daten ist jedoch der Mittelwert die bevorzugte Messung des Zentrums unter diesen drei. Wenn die Werte einer normalen (Gaußschen) Verteilung folgen, fallen 68 % aller Scores innerhalb der Standardabweichungen von -1 und +1 (vom Mittelwert), 95 % innerhalb von zwei Standardabweichungen und 99,7 % innerhalb von drei Standardabweichungen. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz, die die Streuung einer Verteilung misst.

Gaußsches Modell für den Handel

Die Standardabweichung misst die Volatilität und bestimmt die zu erwartende Renditeentwicklung. Kleinere Standardabweichungen bedeuten ein geringeres Risiko für eine Anlage, während höhere Standardabweichungen ein höheres Risiko bedeuten. Händler können die Schlusskurse als Differenz vom Mittelwert messen; ein größerer Unterschied zwischen dem tatsächlichen Wert und dem Mittelwert deutet auf eine höhere Standardabweichung und damit auf mehr Volatilität hin.

Kurse, die weit vom Mittelwert abweichen, können zum Mittelwert zurückkehren, sodass Händler diese Situationen ausnutzen können, und Kurse, die in einer kleinen Spanne gehandelt werden, könnten für einen Ausbruch bereit sein. Der häufig verwendete technische Indikator für Standardabweichungsgeschäfte ist das Bollinger Band®, da es ein Maß für die Volatilität ist, das auf zwei Standardabweichungen für das obere und untere Band mit einem gleitenden 21-Tage-Durchschnitt festgelegt ist.

Schräglage und Kurtose

Die Daten folgen normalerweise nicht dem präzisen Glockenkurvenmuster der Normalverteilung. Schiefe und Kurtosis sind Maßeinheiten dafür, wie Daten von diesem idealen Muster abweichen. Die Schiefe misst die Asymmetrie der Ausläufer der Verteilung: Eine positive Schiefe weist Daten auf, die auf der oberen Seite des Mittelwerts weiter abweichen als auf der unteren Seite; das Gegenteil ist bei negativem Skew der Fall.

Während sich Schiefe auf das Ungleichgewicht der Schwänze bezieht, betrifft die Kurtosis das Ende der Schwänze, unabhängig davon, ob sie über oder unter dem Mittelwert liegen. Eine leptokurtische Verteilung weist eine positive überschüssige Kurtosis auf und weist Datenwerte auf, die extremer sind (in beiden Schwänzen) als durch die Normalverteilung vorhergesagt (z. B. fünf oder mehr Standardabweichungen vom Mittelwert). Ein negativer Überschuß Kurtosis, gemäß platykurtosis, wird durch eine Verteilung mit Extremwert – Zeichen gekennzeichnet, dass weniger extrem ist als die der Normalverteilung.

Als Anwendung von Schiefe und Kurtosis erfordert beispielsweise die Analyse festverzinslicher Wertpapiere eine sorgfältige statistische Analyse, um die Volatilität eines Portfolios bei schwankenden Zinssätzen zu bestimmen. Modelle, die die Bewegungsrichtung vorhersagen, müssen Schiefe und Kurtosis berücksichtigen, um die Wertentwicklung eines Anleihenportfolios vorherzusagen. Diese statistischen Konzepte können weiter angewendet werden, um Preisbewegungen für viele andere Finanzinstrumente wie Aktien, Optionen und Währungspaare zu bestimmen.