Berechnung der historischen Volatilität in Excel

Der Wert von Finanzanlagen variiert täglich. Anleger benötigen einen Indikator, um diese oft schwer vorhersehbaren Veränderungen zu quantifizieren. Angebot und Nachfrage sind die beiden Hauptfaktoren, die Veränderungen der Vermögenspreise beeinflussen. Im Gegenzug spiegeln Preisbewegungen eine Vielzahl von Schwankungen wider, die die Ursachen für proportionale Gewinne und Verluste sind. Die Unsicherheit über solche Einflüsse und Schwankungen wird aus Anlegersicht als Risiko bezeichnet.

Der Preis einer Option hängt von ihrer zugrunde liegenden Fähigkeit ab, sich zu bewegen, dh von ihrer Fähigkeit, volatil zu sein. Je wahrscheinlicher es ist, dass es umzieht, desto teurer wird seine Prämie näher am Verfall sein. Die Berechnung der Volatilität eines zugrunde liegenden Vermögenswerts hilft Anlegern daher, Derivate auf der Grundlage dieses Vermögenswerts zu bewerten.

Messung der Variation des Vermögenswerts

Eine Möglichkeit, die Variation eines Vermögenswerts zu messen, besteht darin, die täglichen Renditen (prozentuale Bewegung auf täglicher Basis) des Vermögenswerts zu quantifizieren. Dies bringt uns zur Definition und zum Konzept der historischen Volatilität. Die historische Volatilität basiert auf historischen Preisen und repräsentiert den Grad der Variabilität der Renditen eines Vermögenswerts. Diese Zahl ist ohne Einheit und wird in Prozent ausgedrückt.

Berechnung der historischen Volatilität

Wenn wir P (t) den Preis eines finanziellen Vermögenswerts ( Devisenvermögenswert, Aktien, Devisenpaar usw.) zum Zeitpunkt t und P (t-1) den Preis des finanziellen Vermögenswerts zum Zeitpunkt t-1 nennen, definieren wir die tägliche Rendite r (t) des Vermögenswerts zum Zeitpunkt t durch:

r (t) = ln (P (t) / P (t-1))

wobei Ln (x) = natürliche Logarithmusfunktion.

Die Gesamtrendite  R zum Zeitpunkt t beträgt:

R = r1 + r2 + r3 + 2 +… +rt-1+ rt,

was gleichbedeutend ist mit:

R = Ln (P1 / P0) +… Ln (Pt-1 / Pt-2) + Ln (Pt / Pt-1)

Wir haben folgende Gleichheit:

Ln (a) + Ln (b) = Ln (a*b)

Das ergibt also:

R = Ln [(P1 / P0* (P2 / P1)*… (Pt / Pt-1])

R = Ln [(P1. P2… Pt-1. Pt) / (P0. P1. P2… Pt-2. Pt-1)]

Und, vereinfacht gesagt, haben wir:

R = Ln (Pt / P0).

Die Rendite wird normalerweise als Differenz der relativen Preisänderungen berechnet. Dies bedeutet, dass, wenn ein Vermögenswert zum Zeitpunkt t einen Preis von P (t) und zum Zeitpunkt t + h> t P (t + h) hat, die Rendite (r) ist:

r = (P (t + t) -P (t)) / P (t) = [P (t + h) / P (t)] – 1

Wenn die Rendite gering ist, z. B. nur wenige Prozent, haben wir:

r ≈ Ln (1 + r)

Wir können r durch den Logarithmus des aktuellen Preises ersetzen, da:

r ≈ Ln (1 + r)

r ≈ Ln (1 + ([P (t + h) / P (t)] – 1))

r ≈ Ln (P (t + h) / P (t))

Aus einer Reihe von Schlusskursen beispielsweise genügt es, den Logarithmus des Verhältnisses zweier aufeinanderfolgender Kurse zu nehmen, um die Tagesrendite r (t) zu berechnen.

Somit kann man auch die Gesamtrendite R berechnen, indem man nur die Anfangs- und Endpreise verwendet.

Annualisierte Volatilität

Um die unterschiedlichen Volatilitäten über einen Zeitraum von einem Jahr vollständig abzuschätzen, multiplizieren wir diese Volatilität mit einem Faktor, der die Variabilität der Vermögenswerte für ein Jahr berücksichtigt.

Dazu verwenden wir die Varianz. Die Varianz ist das Quadrat der Abweichung von der durchschnittlichen Tagesrendite für einen Tag.

Um die Quadratzahl der Abweichungen von der durchschnittlichen Tagesrendite für 365 Tage zu berechnen, multiplizieren wir die Varianz mit der Anzahl der Tage (365). Die annualisierte Standardabweichung ergibt sich aus der Quadratwurzel des Ergebnisses:

Varianz = σ²täglich = [Σ (r (t)) ² / (n – 1)]

Für die annualisierte Varianz, wenn wir annehmen, dass das Jahr 365 Tage beträgt und jeder Tag die gleiche tägliche Varianz hat, σ²day, erhalten wir:

Annualisierte Varianz = 365. σ²tägliche
annualisierte Varianz = 365. [Σ (r (t)) ² / (n – 1)]

Schließlich wird die Volatilität als Quadratwurzel der Varianz definiert:

Volatilität = √ (Varianz annualisiert)

Volatilität = √ (365. Σ² täglich)

Volatilität = (365 [Σ (r (t)) ² / (n – 1)].)

Simulation