Wahrscheinlichkeitsverteilung

Was ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist eine statistische Funktion, die alle möglichen Werte und Wahrscheinlichkeiten beschreibt, die eine Zufallsvariable innerhalb eines bestimmten Bereichs annehmen kann. Dieser Bereich wird zwischen den minimal und maximal möglichen Werten begrenzt, aber genau wo der mögliche Wert wahrscheinlich auf der Wahrscheinlichkeitsverteilung aufgetragen wird, hängt von einer Reihe von Faktoren ab. Zu diesen Faktoren gehören der Mittelwert (Durchschnitt), die Standardabweichung, die Schiefe und die Kurtosis.

Wie Wahrscheinlichkeitsverteilungen funktionieren

Die vielleicht gebräuchlichste Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Normalverteilung oder „ Glockenkurve “, obwohl es mehrere Verteilungen gibt, die häufig verwendet werden. Typischerweise bestimmt der Datenerzeugungsprozess eines Phänomens seine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dieser Vorgang wird Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion genannt.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen können auch verwendet werden, um kumulative Verteilungsfunktionen (CDFs) zu erstellen, die die Eintrittswahrscheinlichkeiten kumulativ aufsummieren und immer bei Null beginnen und bei 100% enden.

Akademiker, Finanzanalysten und Fondsmanager können gleichermaßen die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer bestimmten Aktie bestimmen, um die möglichen erwarteten Renditen der Aktie in der Zukunft zu bewerten. Die Renditehistorie der Aktie, die aus jedem Zeitintervall gemessen werden kann, besteht wahrscheinlich nur aus einem Bruchteil der Renditen der Aktie, wodurch die Analyse einem Stichprobenfehler unterliegt. Durch Erhöhung der Stichprobengröße kann dieser Fehler drastisch reduziert werden.

Arten von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Es gibt viele verschiedene Klassifikationen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Einige von ihnen umfassen die Normalverteilung, die Chi-Quadrat Verteilung, die Binomialverteilung und die Poisson-Verteilung. Die unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen dienen unterschiedlichen Zwecken und repräsentieren unterschiedliche Datengenerierungsprozesse. Die Binomialverteilung wertet beispielsweise die Wahrscheinlichkeit aus, dass ein Ereignis während einer gegebenen Anzahl von Versuchen mehrmals auftritt, und gibt die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses in jedem Versuch an. und kann erzeugt werden, indem verfolgt wird, wie viele Freiwürfe ein Basketballspieler in einem Spiel macht, wobei 1 = ein Korb und 0 = ein Fehlschlag. Ein weiteres typisches Beispiel wäre die Verwendung einer fairen Münze und die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass diese Münze in 10 geraden Flips Kopf gewinnt. Eine Binomialverteilung ist im Gegensatz zu einer stetigen diskret, da nur 1 oder 0 eine gültige Antwort ist.

Die am häufigsten verwendete Verteilung ist die Normalverteilung, die häufig in den Bereichen Finanzen, Investitionen, Wissenschaft und Technik verwendet wird. Die Normalverteilung ist vollständig durch ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung charakterisiert, d. h. die Verteilung ist nicht verzerrt und weist eine Kurtosis auf. Dadurch ist die Verteilung symmetrisch und wird beim Auftragen als glockenförmige Kurve dargestellt. Eine Normalverteilung wird durch einen Mittelwert (Durchschnitt) von Null und eine Standardabweichung von 1,0 mit einer Schiefe von Null und einer Kurtosis = 3 definiert. Bei einer Normalverteilung fallen ungefähr 68 % der gesammelten Daten innerhalb von +/- einem Standard one Abweichung vom Mittelwert; ca. 95 % innerhalb von +/- zwei Standardabweichungen; und 99,7% innerhalb von drei Standardabweichungen. Im Gegensatz zur Binomialverteilung ist die Normalverteilung stetig, was bedeutet, dass alle möglichen Werte dargestellt werden (im Gegensatz zu nur 0 und 1 ohne dazwischen).

Beim Investieren verwendete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Aktienrenditen werden oft als normalverteilt angenommen, aber in Wirklichkeit zeigen sie eine Kurtosis mit großen negativen und positiven Renditen, die anscheinend häufiger auftreten, als von einer Normalverteilung vorhergesagt. Da die Aktienkurse durch Null begrenzt sind, aber ein potenziell unbegrenztes Aufwärtspotenzial bieten, wurde die Verteilung der Aktienrenditen als log-normal beschrieben. Dies zeigt sich in einem Diagramm der Aktienrenditen, wobei die Ausläufer der Verteilung eine größere Dicke aufweisen.

Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden auch im Risikomanagement häufig verwendet, um die Wahrscheinlichkeit und Höhe von Verlusten zu bewerten, die ein Anlageportfolio aufgrund einer Verteilung historischer Renditen erleiden würde. Eine beliebte Risikomanagement-Kennzahl, die beim Investieren verwendet wird, ist der Value-at-Risk (VaR). VaR gibt den minimalen Verlust an, der bei gegebener Wahrscheinlichkeit und Zeitrahmen für ein Portfolio auftreten kann. Alternativ kann ein Anleger mithilfe des VaR eine Verlustwahrscheinlichkeit für eine Verlusthöhe und einen Zeitrahmen erhalten. Missbrauch und übermäßige Abhängigkeit vom VaR wurden als eine der Hauptursachen für die Finanzkrise 2008 inBetracht gezogen.

Beispiel einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Als einfaches Beispiel für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung betrachten wir die Zahl, die beim Würfeln mit zwei standardmäßigen sechsseitigen Würfeln beobachtet wird. Jeder Würfel hat eine Wahrscheinlichkeit von 1/6, eine einzelne Zahl von eins bis sechs zu würfeln, aber die Summe zweier Würfel ergibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der Abbildung unten dargestellt ist. Sieben ist das häufigste Ergebnis (1+6, 6+1, 5+2, 2+5, 3+4, 4+3). Zwei und zwölf sind dagegen weitaus weniger wahrscheinlich (1+1 und 6+6).