Macaulay-Dauer vs. modifizierte Dauer

Die Macaulay-Duration und die Modified Duration werden hauptsächlich zur Berechnung der Duration von Anleihen verwendet. Die Macaulay-Duration berechnet die gewichtete durchschnittliche Zeit, bevor ein Anleihegläubiger die Cashflows der Anleihe erhalten würde. Umgekehrt misst die modifizierte Duration die Preissensitivität einer Anleihe bei einer Änderung der Rendite bis zur Fälligkeit.

Die Macaulay-Dauer

Die Macaulay-Duration wird berechnet, indem der Zeitraum mit der periodischen Couponzahlung multipliziert und der resultierende Wert durch 1 plus der periodischen Rendite bis zur Fälligkeit dividiert wird. Anschließend wird der Wert für jede Periode berechnet und addiert. Dann wird der resultierende Wert zur Gesamtzahl der Perioden multipliziert mit dem Nennwert, dividiert durch 1 zuzüglich der auf die Gesamtzahl der Perioden erhöhten Periodenrendite addiert . Dann wird der Wert durch den aktuellen Anleihepreis geteilt.

Der Preis einer Anleihe wird berechnet, indem der Cashflow mit 1 minus 1 geteilt durch 1 plus der Rendite bis zur Fälligkeit multipliziert auf die Anzahl der Perioden geteilt durch die erforderliche Rendite berechnet wird. Der resultierende Wert wird zum Nennwert oder Fälligkeitswert der Anleihe dividiert durch 1 zuzüglich der auf die Gesamtzahl der Perioden erhöhten Fälligkeitsrendite addiert.

Angenommen, die Macaulay-Duration einer fünfjährigen Anleihe mit einem Laufzeitwert von 5.000 USD und einem Kupon von 6% beträgt 4,87 Jahre ((1*60) / (1+0,06) + (2*60) / (1 + 0,06) ^ 2 + (3*60) / (1 + 0,06) ^ 3 + (4*60) / (1 + 0,06) ^ 4 + (5*60) / (1 + 0,06) ^ 5 + (5 *5000) / (1 + 0,06) ^ 5) / (60*((1- (1 + 0,06) ^ -5) / (0,06)) + (5000 / (1 + 0,06) ^ 5)).

Die modifizierte Duration für diese Anleihe mit einer Rendite bis zur Fälligkeit von 6% für eine Kuponperiode beträgt 4,59 Jahre (4,87 / (1 + 0,06 / 1). Wenn daher die Rendite bis zur Fälligkeit von 6% auf 7% steigt, beträgt die Die Duration der Anleihe verringert sich um 0,28 Jahre (4,87 – 4,59).

Die Formel zur Berechnung der prozentualen Änderung des Anleihepreises ist die Änderung der Rendite multipliziert mit dem negativen Wert der modifizierten Duration multipliziert mit 100%. Diese resultierende prozentuale Veränderung der Anleihe bei einer Renditesteigerung von 1 % wird mit -4,59 % (0,01*-4,59*100 %) berechnet.

Die geänderte Dauer

Modified Duration=Macauley Duration(1+JaTMnein)where:JaTM=yield to maturitynein=number of Coupon periods per yEeineR\begin{aligned} &\text{Modified Duration}=\frac{\text{Macauley Duration}}{\left( 1 + \frac{YTM}{n}\right)} \\ &\textbf{wo:} \\ & YTM = \ text {Rendite bis zur Fälligkeit} \\ & n = \ text {Anzahl der Couponperioden pro Jahr} \ end {align}. Geänderte Dauer=( 1+nein

Die  modifizierte Duration  ist eine angepasste Version der Macaulay-Duration, die die sich ändernden Renditen der Laufzeiten berücksichtigt. Die Formel für die modifizierte Duration ist der Wert der Macaulay-Duration dividiert durch 1 zuzüglich der Rendite bis zur Fälligkeit dividiert durch die Anzahl der Kuponperioden pro Jahr. Die modifizierte Duration bestimmt die Änderungen der Duration und des Preises einer Anleihe für jede  prozentuale Änderung  der Rendite bis zur Fälligkeit.1

Angenommen, eine sechsjährige Anleihe hat einen Nennwert von 1.000 USD und einen jährlichen Kupon von 8%. Die Macaulay-Dauer wird mit 4,99 Jahren berechnet ((1*80) / (1 + 0,08) + (2*80) / (1 + 0,08) ^ 2 + (3*80) / (1 + 0,08) ^ 3 + (4*80) / (1 + 0,08) ^ 4 + (5*80) / (1 + 0,08) ^ 5 + (6*80) / (1 + 0,08) ^ 6 + (6*1000) / (1 + 0,08) ^ 6) / (80*(1- (1 + 0,08) ^ -6) / 0,08 + 1000 / (1 + 0,08) ^ 6).

Die modifizierte Duration für diese Anleihe mit einer Rendite bis zur Fälligkeit von 8% für eine Kuponperiode beträgt 4,62 Jahre (4,99 / (1 + 0,08 / 1). Wenn daher die Rendite bis zur Fälligkeit von 8% auf 9% steigt, beträgt die Die Duration der Anleihe verringert sich um 0,37 Jahre (4,99 – 4,62).

Die Formel zur Berechnung der prozentualen Änderung des Anleihepreises ist die Änderung der Rendite multipliziert mit dem negativen Wert der modifizierten Duration multipliziert mit 100%. Diese daraus resultierende prozentuale Veränderung der Anleihe bei einer Zinserhöhung von 8 % auf 9 % errechnet sich zu -4,62 % (0,01* – 4,62* 100 %).

Wenn die Zinsen über Nacht um 1 % steigen, wird der Kurs der Anleihe daher voraussichtlich um 4,62 % fallen.

Die Modified Duration und Zinsswaps

Die modifizierte Duration könnte verlängert werden, um die Anzahl der Jahre zu berechnen, die ein Zinsswap benötigt, um den für den Swap gezahlten Preis zurückzuzahlen. Ein Zinsswap ist der Austausch eines Satzes von  Cashflows  gegen einen anderen und basiert auf Zinssatzspezifikationen zwischen den Parteien.

Die modifizierte Duration wird berechnet, indem der Dollarwert einer Änderung um einen Basispunkt eines Zinsswap-Legs oder einer Reihe von Cashflows durch den Barwert der Reihe von Cashflows dividiert wird. Der Wert wird dann mit 10.000 multipliziert. Die modifizierte Duration für jede Reihe von Cashflows kann auch berechnet werden, indem der Dollarwert einer Basispunktänderung der Reihe von Cashflows durch den Nominalwert plus den Marktwert geteilt wird. Der Bruch wird dann mit 10.000 multipliziert.

Zur Berechnung der modifizierten Duration des Zinsswaps muss die modifizierte Duration beider Legs berechnet werden . Die Differenz zwischen den beiden modifizierten Durationen ist die modifizierte Duration des Zinsswaps. Die Formel für die geänderte Dauer des Zinsswaps ist die geänderte Dauer des empfangenden Teils abzüglich der geänderten Dauer des zahlenden Teils.

Angenommen, Bank A und Bank B schließen einen Zinsswap ab. Die geänderte Dauer des empfangenden Teils eines Swaps wird mit neun Jahren berechnet, und die geänderte Dauer des zahlenden Teils wird mit fünf Jahren berechnet. Die daraus resultierende modifizierte Duration des Zinsswap beträgt vier Jahre (9 Jahre – 5 Jahre).

Vergleich der Macaulay-Dauer und der modifizierten Dauer

Da die Macaulay – Duration misst die gewichtete durchschnittliche Zeit ein Investor eine Anleihe halten muss, bis der Barwert der Cash – Anleihe fließt, ist gleich dem Betrag für die Anleihe bezahlt, ist es oft Anleihenmanager nutzen Suche Bond – Portfolio Risiko verwalten Immunisierungsstrategien.

Im Gegensatz dazu gibt die geänderte Duration an, um wie viel sich die Duration für jede prozentuale Änderung der Rendite ändert, während gemessen wird, wie stark sich eine Änderung der Zinssätze auf den Preis einer Anleihe auswirkt. Somit kann die modifizierte Duration Anleiheinvestoren ein Risikomaß bieten, indem sie annähert, um wie viel der Kurs einer Anleihe bei einem Anstieg der Zinssätze sinken könnte. Es ist wichtig zu beachten, dass Anleihekurse und Zinssätze eine  umgekehrte Beziehung  zueinander haben.