Optimieren Sie Ihr Portfolio mit Normalverteilung
Die Normalverteilung ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung, die alle ihre Werte symmetrisch darstellt, wobei die meisten Ergebnisse um den Mittelwert der Wahrscheinlichkeit liegen.
Normalverteilung (Glockenkurve)
Datensätze (wie die Körpergröße von 100 Menschen, Noten von 45 Schülern in einer Klasse usw.) haben in der Regel viele Werte am selben Datenpunkt oder innerhalb desselben Bereichs. Diese Verteilung von Datenpunkten wird als Normal- oder Glockenkurvenverteilung bezeichnet.
Zum Beispiel können in einer Gruppe von 100 Individuen 10 unter 1,50 m groß sein, 65 können zwischen 5 und 5,5 Fuß groß sein und 25 können über 5,5 Fuß groß sein. Diese bereichsgebundene Verteilung lässt sich wie folgt darstellen:
In ähnlicher Weise können Datenpunkte, die in Diagrammen für einen bestimmten Datensatz dargestellt sind, verschiedenen Arten von Verteilungen ähneln. Drei der häufigsten sind linksbündig, rechtsbündig und durcheinandergebrachte Verteilungen:
Beachten Sie die rote Trendlinie in jedem dieser Diagramme. Dies zeigt grob den Datenverteilungstrend an. Die erste, „LEFT Aligned Distribution“, zeigt an, dass die Mehrheit der Datenpunkte in den unteren Bereich fällt. In der zweiten „RIGHT Aligned Distribution“-Grafik liegt die Mehrheit der Datenpunkte am oberen Ende des Bereichs, während die letzte „Jumbled Distribution“ einen gemischten Datensatz ohne klaren Trend darstellt.
Es gibt viele Fälle, in denen die Verteilung von Datenpunkten tendenziell um einen zentralen Wert herum liegt, und dieser Graph zeigt eine perfekte Normalverteilung – auf beiden Seiten gleich ausgeglichen, wobei die höchste Anzahl von Datenpunkten in der Mitte konzentriert ist.
Hier ist ein perfekter, normalverteilter Datensatz:
Der zentrale Wert ist hier 50 (mit den meisten Datenpunkten) und die Verteilung verjüngt sich gleichmäßig zu den extremen Endwerten 0 und 100 (mit den wenigsten Datenpunkten). Die Normalverteilung ist symmetrisch um den Mittelwert mit der Hälfte der Werte auf jeder Seite.
Viele Beispiele aus der Praxis passen zur Glockenkurvenverteilung:
- Werfen Sie eine faire Münze viele Male (sagen wir 100 Mal oder mehr) und Sie erhalten eine ausgewogene Normalverteilung von Kopf und Zahl.
- Werfen Sie ein Paar faire Würfel viele Male (sagen wir 100-mal oder mehr) und das Ergebnis wird eine ausgewogene, normale Verteilung sein, die um die Zahl 7 herum zentriert ist und sich gleichmäßig zu den Extremwerten von 2 und 12 hin verjüngt.
- Die Körpergröße der Individuen in einer Gruppe von beträchtlicher Größe und die Noten, die von den Leuten in einer Klasse erhalten werden, folgen beide normalen Verteilungsmustern.
- In der Finanzwelt, Änderungen in den Log – Werte von Devisenkurse, Preisindizes, und die Aktienkurse normalverteilt angenommen werden.
Risiko und Rendite
Jede Investition hat zwei Aspekte: Risiko und Rendite. Anleger suchen das geringstmögliche Risiko für die höchstmögliche Rendite. Die Normalverteilung quantifiziert diese beiden Aspekte durch den Mittelwert für die Renditen und die Standardabweichung für das Risiko.
Mittelwert oder erwarteter Wert
Eine besondere durchschnittliche Veränderung des Aktienkurses kann auf Tagesbasis 1,5% betragen, was bedeutet, dass sie im Durchschnitt um 1,5% steigt. Dieser Mittelwert oder erwartete Wert, der die Rendite bedeutet, kann durch Berechnung des Durchschnitts eines ausreichend großen Datensatzes mit historischen täglichen Preisänderungen dieser Aktie ermittelt werden. Je höher der Mittelwert, desto besser.
Standardabweichung
Die Standardabweichung gibt den Betrag an, um den die Werte im Durchschnitt vom Mittelwert abweichen. Je höher die Standardabweichung, desto riskanter die Investition, da sie zu mehr Unsicherheit führt.
Hier ist eine grafische Darstellung desselben:
Die grafische Darstellung der Normalverteilung durch Mittelwert und Standardabweichung ermöglicht daher die Darstellung von Rendite und Risiko in einem klar definierten Bereich.
Es hilft zu wissen (und mit Sicherheit sicher zu sein), dass, wenn ein Datensatz dem Normalverteilungsmuster folgt, sein Mittelwert uns ermöglicht zu wissen, welche Renditen zu erwarten sind, und seine Standardabweichung uns ermöglicht zu wissen, dass etwa 68% der Werte innerhalb von 1 Standardabweichung liegen, 95% innerhalb von 2 Standardabweichungen und 99% der Werte innerhalb von 3 Standardabweichungen liegen. Ein Datensatz mit einem Mittelwert von 1,5 und einer Standardabweichung von 1 ist viel riskanter als ein anderer Datensatz mit einem Mittelwert von 1,5 und einer Standardabweichung von 0,1.
Die Kenntnis dieser Werte für jeden ausgewählten Vermögenswert (dh Aktien, Anleihen und Fonds) macht einem Anleger die erwarteten Renditen und Risiken bewusst.
Es ist einfach, dieses Konzept anzuwenden und das Risiko und die Rendite einer einzelnen Aktie, Anleihe oder eines Fonds darzustellen. Aber kann dies auf ein Portfolio mit mehreren Vermögenswerten ausgedehnt werden?
Einzelpersonen beginnen mit dem Handel, indem sie eine einzelne Aktie oder Anleihe kaufen oder in einen Investmentfonds investieren. Allmählich neigen sie dazu, ihre Bestände zu erhöhen und mehrere Aktien, Fonds oder andere Vermögenswerte zu kaufen, wodurch ein Portfolio entsteht. In diesem inkrementellen Szenario bauen Einzelpersonen ihre Portfolios ohne eine Strategie oder viel Voraussicht auf. Professionelle Fondsmanager, Trader und Market Maker folgen einer systematischen Methode zum Aufbau ihres Portfolios unter Verwendung eines mathematischen Ansatzes, der als moderne Portfoliotheorie (MPT) bezeichnet wird und auf dem Konzept der „Normalverteilung“ basiert.
Moderne Portfoliotheorie
Die moderne Portfoliotheorie (MPT) bietet einen systematischen mathematischen Ansatz, der darauf abzielt, die erwartete Rendite eines Portfolios bei einem bestimmten Portfoliorisiko durch die Auswahl der Anteile verschiedener Vermögenswerte zu maximieren. Alternativ bietet es auch die Möglichkeit, das Risiko für eine bestimmte Höhe der erwarteten Rendite zu minimieren.
Um dieses Ziel zu erreichen, sollten die in das Portfolio aufzunehmenden Vermögenswerte nicht allein aufgrund ihrer individuellen Leistung ausgewählt werden, sondern vielmehr danach, wie sich die einzelnen Vermögenswerte im Verhältnis zu den anderen Vermögenswerten im Portfolio entwickeln.
Kurz gesagt definiert MPT, wie man die Portfoliodiversifikation für die bestmöglichen Ergebnisse am besten erreicht: maximale Renditen bei einem akzeptablen Risikoniveau oder minimales Risiko bei einem gewünschten Renditeniveau.
Die Bausteine
Der MPT war bei seiner Einführung ein so revolutionäres Konzept, dass seine Erfinder einen Nobelpreis erhielten. Diese Theorie lieferte erfolgreich eine mathematische Formel, um die Diversifikation beim Investieren zu steuern.
Diversifikation ist eine Risikomanagementtechnik, die das Risiko „alle Eier in einem Korb“ beseitigt, indem in nicht korrelierte Aktien, Sektoren oder Anlageklassen investiert wird. Im Idealfall hebt die positive Wertentwicklung eines Vermögenswerts im Portfolio die negative Wertentwicklung anderer Vermögenswerte auf.
Um die nehmen durchschnittliche Rendite des Portfolios, der hat n verschiedene Vermögenswerte, der Anteil-gewichtete Kombination der konstituierenden Erträge Vermögen berechnet.
Aufgrund der Natur statistischer Berechnungen und der Normalverteilung wird die Gesamtportfoliorendite (R p ) wie folgt berechnet:
Die Summe (∑), wobei w i das proportionale Gewicht des Vermögenswerts i im Portfolio ist, R i die Rendite (Mittelwert) des Vermögenswerts i.
Das Portfoliorisiko (oder die Standardabweichung) ist eine Funktion der Korrelationen der enthaltenen Vermögenswerte für alle Vermögenspaare (im Verhältnis zueinander im Paar).
Aufgrund der Natur statistischer Berechnungen und der Normalverteilung wird das Gesamtportfoliorisiko (Std-dev) p wie folgt berechnet:
(Std−dev)p=soqrt
(Std−dev)p=sqrt[ich∑j∑wichwj(std−dev)ich(std−dev)j(cor−cofichj)]
Hier ist cor-cof der Korrelationskoeffizient zwischen den Renditen der Vermögenswerte i und j, und sqrt ist die Quadratwurzel.
Dies berücksichtigt die relative Wertentwicklung jedes Vermögenswerts in Bezug auf den anderen.
Obwohl dies mathematisch komplex erscheint, umfasst das hier angewandte einfache Konzept nicht nur die Standardabweichungen einzelner Vermögenswerte, sondern auch die miteinander verbundenen.
Ein gutes Beispiel finden Sie hier an der University of Washington.
Ein kurzes Beispiel für MPT
Stellen wir uns als Gedankenexperiment vor, wir sind ein Portfoliomanager, dem Kapital gegeben wurde und der beauftragt wird, wie viel Kapital auf zwei verfügbare Vermögenswerte (A & B) verteilt werden soll, damit die erwartete Rendite maximiert und das Risiko gesenkt wird.
Außerdem haben wir folgende Werte zur Verfügung:
R a = 0,175
R b = 0,055
(Std-Abw.) a = 0,258
(Std-Abw.) b = 0,115
(Std-dev) ab = -0,004875
(Cor-cof) ab = -0,164
Beginnend mit einer gleichmäßigen 50-50-Allokation für jeden Vermögenswert A & B wird der R p auf 0,115 berechnet und (Std-dev) p auf 0,1323. Ein einfacher Vergleich zeigt uns, dass sowohl die Rendite als auch das Risiko bei diesem 2-Asset-Portfolio in der Mitte zwischen den einzelnen Werten jedes Assets liegen.
Unser Ziel ist es jedoch, die Rendite des Portfolios über den bloßen Durchschnitt der einzelnen Vermögenswerte hinaus zu verbessern und das Risiko so zu reduzieren, dass es unter der der einzelnen Vermögenswerte liegt.
Nehmen wir nun eine Kapitalallokationsposition von 1,5 in Vermögenswert A und eine Kapitalallokationsposition von -0,5 in Vermögenswert B. (Negative Kapitalallokation bedeutet, dass die erhaltenen Aktien und das erhaltene Kapital gekürzt werden, um den Überschuss des anderen Vermögenswerts mit positiver Kapitalallokation zu kaufen Mit anderen Worten, wir leerverkaufen Aktie B für das 0,5-fache des Kapitals und verwenden dieses Geld, um Aktie A für den 1,5-fachen Kapitalbetrag zu kaufen.)
Mit diesen Werten erhalten wir R p als 0,1604 und (Std-dev) p als 0,4005.
In ähnlicher Weise können wir weiterhin unterschiedliche Allokationsgewichtungen für Asset A & B verwenden und zu unterschiedlichen Sätzen von Rp und (Std-dev)p gelangen. Je nach gewünschter Rendite (Rp) kann man das akzeptable Risikoniveau (std-dev)p wählen. Alternativ kann man für das gewünschte Risikoniveau die beste verfügbare Portfoliorendite auswählen. So oder so kann durch dieses mathematische Modell der Portfoliotheorie das Ziel erreicht werden, ein effizientes Portfolio mit der gewünschten Risiko- und Renditekombination zu erstellen.
Durch den Einsatz automatisierter Tools lassen sich die bestmöglichen Proportionen einfach und reibungslos ermitteln, ohne langwierige manuelle Berechnungen.
Die Efficiency Frontier, das Capital Asset Pricing Model (CAPM) und die Asset Pricing mit MPT entwickeln sich ebenfalls aus dem gleichen Normalverteilungsmodell und sind eine Erweiterung des MPT.
Herausforderungen für MPT (und die zugrunde liegende Normalverteilung)
Leider ist kein mathematisches Modell perfekt und jedes hat Unzulänglichkeiten und Einschränkungen.
Die Grundannahme, dass Aktienkursrenditen selbst der Normalverteilung folgen, wird immer wieder in Frage gestellt. Es gibt genügend empirische Beweise für Fälle, in denen Werte nicht der angenommenen Normalverteilung entsprechen. Wenn komplexe Modelle auf solchen Annahmen basieren, kann dies zu Ergebnissen mit großen Abweichungen führen.
Wenn man sich weiter mit MPT befasst, müssen die Berechnungen und Annahmen bezüglich des Korrelationskoeffizienten und der Kovarianz, die unverändert bleiben (basierend auf historischen Daten), nicht unbedingt für zukünftige erwartete Werte gelten. Beispielsweise zeigten die Anleihen- und Aktienmärkte im Zeitraum 2001 bis 2004 eine perfekte Korrelation auf dem britischen Markt, als die Renditen beider Anlagen gleichzeitig sanken. In Wirklichkeit wurde das Gegenteil über lange historische Zeiträume vor 2001 beobachtet.
Das Anlegerverhalten wird in diesem mathematischen Modell nicht berücksichtigt. Steuern und Transaktionskosten werden vernachlässigt, obwohl von einer fraktionierten Kapitalallokation und der Möglichkeit des Leerverkaufs von Vermögenswerten ausgegangen wird.
In Wirklichkeit trifft keine dieser Annahmen zu, was bedeutet, dass die realisierten finanziellen Erträge erheblich von den erwarteten Gewinnen abweichen können.
Die Quintessenz
Mathematische Modelle bieten einen guten Mechanismus, um einige Variablen mit einzelnen, nachverfolgbaren Zahlen zu quantifizieren. Aber aufgrund der Beschränkungen von Annahmen können Modelle versagen.
Die Normalverteilung, die die Grundlage der Portfoliotheorie bildet, trifft möglicherweise nicht unbedingt auf Aktien und andere Preismuster von Finanzanlagen zu. Die Portfoliotheorie an sich enthält viele Annahmen, die kritisch hinterfragt werden sollten, bevor wichtige finanzielle Entscheidungen getroffen werden.