Stochastische Volatilität
Was ist stochastische Volatilität?
Stochastische Volatilität (SV) bezieht sich auf die Tatsache, dass die Volatilität von Vermögenspreisen variiert und nicht konstant ist, wie es im Optionspreismodell von Black Scholes angenommen wird. Die stochastische Volatilitätsmodellierung versucht, dieses Problem mit Black Scholes zu korrigieren, indem sie die Volatilität im Laufe der Zeit schwanken lässt.
Die zentralen Thesen
- Stochastische Volatilität ist ein Konzept, das der Tatsache Rechnung trägt, dass die Preisvolatilität von Vermögenswerten im Laufe der Zeit variiert und nicht konstant ist.
- Viele grundlegende Preismodelle für Optionen wie Black Scholes gehen von einer konstanten Volatilität aus, was zu Ineffizienzen und Preisfehlern führt.
- Stochastische Modelle, bei denen die Volatilität zufällig variiert, wie das Heston-Modell, versuchen, diesen blinden Fleck zu korrigieren.
Stochastische Volatilität verstehen
Das Wort „stochastisch“ bedeutet, dass eine Variable zufällig bestimmt wird und nicht genau vorhergesagt werden kann. Stattdessen kann jedoch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ermittelt werden. Im Kontext der Finanzmodellierung iteriert die stochastische Modellierung mit aufeinander folgenden Werten einer Zufallsvariablen, die nicht unabhängig voneinander sind. Was nicht unabhängig bedeutet, ist, dass sich der Wert der Variablen zwar zufällig ändert, ihr Startpunkt jedoch von ihrem vorherigen Wert abhängt, der somit von ihrem Wert davor abhängig war, und so weiter; dies beschreibt einen sogenannten Random Walk.
Beispiele für stochastische Modelle sind das Heston-Modell und das SABR-Modell für Preisoptionen sowie das GARCH Modell, das bei der Analyse von Zeitreihendaten verwendet wird, bei denen angenommen wird, dass der Varianzfehler seriell autokorreliert ist.
Die Volatilität eines Vermögenswerts ist eine Schlüsselkomponente für die Preisgestaltung von Optionen. Stochastische Volatilitätsmodelle wurden aus der Notwendigkeit heraus entwickelt, das Black-Scholes-Modell für die Preisgestaltung von Optionen zu modifizieren, wobei die Tatsache, dass sich die Volatilität des Preises des zugrunde liegenden Wertpapiers ändern kann, nicht effektiv berücksichtigt wurde. Das Black-Scholes-Modell macht stattdessen die vereinfachende Annahme, dass die Volatilität des zugrunde liegenden Wertpapiers konstant war. Stochastische Volatilitätsmodelle korrigieren dies, indem sie die Preisvolatilität des Basiswerts als Zufallsvariable schwanken lassen. Durch die Variation des Preises verbesserten die stochastischen Volatilitätsmodelle die Genauigkeit von Berechnungen und Prognosen.
Das stochastische Volatilitätsmodell von Heston
Das Heston-Modell ist ein stochastisches Volatilitätsmodell, das 1993 vom Finanzwissenschaftler Steven Heston erstellt wurde. Das Modell verwendet die Annahme, dass die Volatilität mehr oder weniger zufällig ist und weist die folgenden Merkmale auf, die es von anderen stochastischen Volatilitätsmodellen unterscheiden:
- Es berücksichtigt die Korrelation zwischen dem Preis eines Vermögenswerts und seiner Volatilität.
- Es versteht Volatilität als Rückkehr zum Mittelwert.
- Es ergibt eine geschlossene Lösung, was bedeutet, dass die Antwort aus einem akzeptierten Satz mathematischer Operationen abgeleitet wird.
- Es erfordert nicht, dass der Aktienkurs einer lognormalen Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt.
Das Heston Modell enthält auch eine Volatilität Lächeln, das mehr implizite Volatilität ermöglicht gewichtet werden Streik in Bezug auf den Kopf zu Abwärtsschläge. Der Name „Smile“ ist auf die konkave Form dieser Volatilitätsdifferenzen bei der grafischen Darstellung zurückzuführen.