Eine Einführung in stationäre und instationäre Prozesse

Finanzinstitute und Unternehmen sowie einzelne Investoren und Forscher verwenden häufig finanzielle Zeitreihendaten (wie die Vermögenspreise, Wechselkurse, BIP, Inflation und andere makroökonomische Indikatoren) in Wirtschaftsprognosen, Aktienmarkt – Analyse oder Untersuchungen der Daten selbst.

Die Verfeinerung von Daten ist jedoch der Schlüssel, um sie auf Ihre Bestandsanalyse anwenden zu können. In diesem Artikel zeigen wir Ihnen, wie Sie die für Ihre Aktienberichte relevanten Datenpunkte isolieren.

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Datenpunkte sind oft nicht stationär oder weisen Mittelwerte, Varianzen und Kovarianzen auf, die sich im Laufe der Zeit ändern. Nichtstationäre Verhaltensweisen können Trends, Zyklen, Random Walks oder Kombinationen der drei sein.

Instationäre Daten sind in der Regel unvorhersehbar und können weder modelliert noch prognostiziert werden. Die Ergebnisse, die durch die Verwendung nichtstationärer Zeitreihen erhalten werden, können insofern verfälscht sein, als sie eine Beziehung zwischen zwei Variablen anzeigen können, wenn keine existiert. Um konsistente, zuverlässige Ergebnisse zu erhalten, müssen die instationären Daten in stationäre Daten umgewandelt werden. Im Gegensatz zum instationären Prozess, der eine variable Varianz und einen Mittelwert hat, der nicht nahe bleibt oder über die Zeit zu einem langfristigen Mittelwert zurückkehrt, kehrt der stationäre Prozess um einen konstanten langfristigen Mittelwert zurück und hat eine konstante Varianz unabhängig von Zeit.

Arten von nicht-stationären Prozessen

Bevor wir zum Transformationspunkt der instationären Finanzzeitreihendaten kommen, sollten wir zwischen den verschiedenen Typen instationärer Prozesse unterscheiden. Dadurch erhalten wir ein besseres Verständnis der Prozesse und können die richtige Transformation anwenden. Beispiele für instationäre Prozesse sind Random Walk mit oder ohne Drift (eine langsame stetige Änderung) und deterministische Trends (Trends, die konstant, positiv oder negativ sind, unabhängig von der Zeit für die gesamte Lebensdauer der Reihe).

• Reiner Random Walk (Y t = Y t-1 + ε t ) Random Walk sagt voraus, dass der Wert zum Zeitpunkt „t“ gleich dem Wert der letzten Periode plus einer stochastischen (nicht systematischen) Komponente ist, die ein weißes Rauschen ist, das bedeutet ε t ist unabhängig und identisch verteilt mit Mittelwert „0“ und Varianz „σ²“. Random-Walk kann auch als integrierter Prozess einer bestimmten Ordnung, als Prozess mit einer Einheitswurzel oder als Prozess mit einem stochastischen Trend bezeichnet werden. Es ist ein Prozess, bei dem kein Mittelwert zurückgesetzt wird und der sich entweder in positiver oder negativer Richtung vom Mittelwert entfernen kann. Ein weiteres Merkmal eines zufälligen Spaziergangs ist, dass sich die Varianz im Laufe der Zeit entwickelt und mit der Zeit gegen unendlich ins Unendliche geht. Daher kann ein Random Walk nicht vorhergesagt werden.
• Random Walk mit Drift (Y t = α + Y t-1 + ε t ) Wenn das Random-Walk-Modell vorhersagt, dass der Wert zum Zeitpunkt „t“ dem Wert der letzten Periode plus einer Konstanten oder Drift (α) entspricht und a Term des weißen Rauschens (ε t ), dann ist der Prozess ein zufälliger Gang mit einer Drift. Er kehrt auch nicht zu einem langfristigen Mittelwert zurück und weist eine zeitabhängige Varianz auf.
• Deterministischer Trend (Y t = α + βt + ε t ) Oft wird ein Random Walk mit Drift mit einem deterministischen Trend verwechselt. Beide beinhalten eine Drift- und eine weiße Rauschkomponente, aber der Wert zum Zeitpunkt „t“ wird bei einem Random Walk auf den Wert der letzten Periode (Y t-1 ) regressiert, während er bei einem deterministischen Trend regressiert wird auf einem Zeittrend (βt). Ein instationärer Prozess mit deterministischem Trend hat einen Mittelwert, der um einen festen und zeitunabhängigen Trend wächst.
• Random Walk mit Drift und deterministischem Trend (Y t = α + Y t-1 + βt + ε t ) Ein weiteres Beispiel ist ein instationärer Prozess, der einen Random Walk mit einer Driftkomponente (α) und einem deterministischen Trend (βt) kombiniert. Es spezifiziert den Wert zum Zeitpunkt „t“ durch den Wert der letzten Periode, eine Drift, einen Trend und eine stochastische Komponente.

Trend und Differenz stationär

Ein Random Walk mit oder ohne Drift kann durch Differenzieren (Subtraktion von Y t-1 von Y t, Differenz Y t – Y t-1 ) entsprechend Y t – Y t-1 = ε t. in einen stationären Prozess umgewandelt werden oder Y t – Y t-1 = α + ε t und dann wird der Prozess differenzstationär. Der Nachteil der Differenzierung besteht darin, dass der Prozess jedes Mal, wenn die Differenz genommen wird, eine Beobachtung verliert.

Ein instationärer Prozess mit einem deterministischen Trend wird nach Entfernen des Trends oder Detrending stationär. Zum Beispiel wird Yt = α + βt + εt in einen stationären Prozess umgewandelt, indem der Trend βt abgezogen wird: Yt – βt = α + εt, wie in der Abbildung unten gezeigt. Es geht keine Beobachtung verloren, wenn durch Detrending ein instationärer Prozess in einen stationären umgewandelt wird.

Bei einem Random Walk mit Drift und deterministischem Trend kann das Detrending den deterministischen Trend und die Drift beseitigen, aber die Varianz geht weiter ins Unendliche. Daher muss auch eine Differenzierung angewendet werden, um den stochastischen Trend zu entfernen.

Die Quintessenz

Die Verwendung nicht stationärer Zeitreihendaten in Finanzmodellen führt zu unzuverlässigen und falschen Ergebnissen und führt zu schlechtem Verständnis und schlechter Prognose. Die Lösung des Problems besteht darin, die Zeitreihendaten so zu transformieren, dass sie stationär werden. Ist der instationäre Prozess ein Random Walk mit oder ohne Drift, wird er durch Differenzierung in einen stationären Prozess umgewandelt. Wenn andererseits die analysierten Zeitreihendaten einen deterministischen Trend aufweisen, können die falschen Ergebnisse durch Detrending vermieden werden.

Manchmal kombinieren die nicht-stationären Reihen einen stochastischen und einen deterministischen Trend gleichzeitig, und um irreführende Ergebnisse zu vermeiden, sollten sowohl die Differenzierung als auch die Trendentfernung angewendet werden, da die Differenzierung den Varianztrend und die Trendentfernung den deterministischen Trend beseitigt.