Zufällige Variable

Was ist eine Zufallsvariable?

Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren Wert unbekannt ist, oder eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Experiments Werte zuweist. Zufällige Variablen werden oft mit Buchstaben bezeichnet und können als diskret klassifiziert werden, dh als Variablen mit bestimmten Werten, oder als stetig, dh als Variablen, die beliebige Werte innerhalb eines kontinuierlichen Bereichs haben können.

Zufällige Variablen werden häufig in der ökonometrischen oder Regressionsanalyse verwendet, um statistische Beziehungen untereinander zu bestimmen.

Eine Zufallsvariable verstehen

In der Wahrscheinlichkeits- und Statistik werden Zufallsvariablen verwendet, um die Ergebnisse eines zufälligen Ereignisses zu quantifizieren und können daher viele Werte annehmen. Zufallsvariablen müssen messbar sein und sind typischerweise reelle Zahlen. Zum Beispiel kann der Buchstabe X so bezeichnet werden, dass er die Summe der resultierenden Zahlen darstellt, nachdem drei Würfel gewürfelt wurden. In diesem Fall könnte X 3 (1 + 1 + 1), 18 (6 + 6 + 6) oder irgendwo zwischen 3 und 18 sein, da die höchste Zahl eines Würfels 6 und die niedrigste Zahl 1 ist.

Eine Zufallsvariable unterscheidet sich von einer algebraischen Variablen. Die Variable in einer algebraischen Gleichung ist ein unbekannter Wert, der berechnet werden kann. Die Gleichung 10 + x = 13 zeigt, dass wir den spezifischen Wert für x berechnen können, der 3 ist. Andererseits hat eine Zufallsvariable eine Reihe von Werten, und jeder dieser Werte könnte das Ergebnis sein, wie im Beispiel gezeigt der Würfel oben.

In der Unternehmenswelt können Eigenschaften wie der durchschnittliche Preis eines Vermögenswerts über einen bestimmten Zeitraum, die Kapitalrendite nach einer bestimmten Anzahl von Jahren, die geschätzte Fluktuationsrate eines Unternehmens innerhalb der folgenden sechs Monate, usw. Risikoanalysten weisen Risikomodellen Zufallsvariablen zu, wenn sie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines unerwünschten Ereignisses schätzen wollen. Diese Variablen werden mithilfe von Tools wie Szenario- und Sensitivitätsanalysetabellen dargestellt, die Risikomanager verwenden, um Entscheidungen zur Risikominderung zu treffen.

Arten von Zufallsvariablen

Eine Zufallsvariable kann entweder diskret oder stetig sein. Diskrete Zufallsvariablen nehmen eine abzählbare Anzahl unterschiedlicher Werte an. Stellen Sie sich ein Experiment vor, bei dem eine Münze dreimal geworfen wird. Wenn X die Häufigkeit darstellt, mit der die Münze Köpfe hochwirft, ist X eine diskrete Zufallsvariable, die nur die Werte 0, 1, 2, 3 haben kann (von keinen Köpfen in drei aufeinanderfolgenden Münzwürfen zu allen Köpfen). Für X ist kein anderer Wert möglich.

Kontinuierliche Zufallsvariablen können jeden Wert innerhalb eines bestimmten Bereichs oder Intervalls darstellen und können eine unendliche Anzahl möglicher Werte annehmen. Ein Beispiel für eine kontinuierliche Zufallsvariable wäre ein Experiment, bei dem die Niederschlagsmenge in einer Stadt über ein Jahr oder die durchschnittliche Körpergröße einer zufälligen Gruppe von 25 Personen gemessen wird.

Wenn Y die Zufallsvariable für die durchschnittliche Größe einer zufälligen Gruppe von 25 Personen darstellt, werden Sie feststellen, dass das Ergebnis eine kontinuierliche Zahl ist, da die Körpergröße 5 Fuß oder 5,01 Fuß oder 5.0001 Fuß betragen kann ist eine unendliche Anzahl möglicher Werte für die Höhe.

Eine Zufallsvariable hat eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit darstellt, dass einer der möglichen Werte eintreten würde. Nehmen wir an, die Zufallsvariable Z ist die Zahl auf der Oberseite eines Würfels, wenn er einmal gewürfelt wird. Die möglichen Werte für Z sind daher 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Die Wahrscheinlichkeit für jeden dieser Werte beträgt 1/6, da sie alle gleich wahrscheinlich den Wert von Z haben.

Zum Beispiel ist die Wahrscheinlichkeit, eine 3 oder ein P (Z=3) zu erhalten, wenn ein Würfel geworfen wird, 1/6, ebenso wie die Wahrscheinlichkeit, eine 4 oder eine 2 oder eine andere Zahl auf allen sechs Seiten von a. zu haben sterben. Beachten Sie, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ist.

Beispiel einer Zufallsvariablen

Ein typisches Beispiel für eine Zufallsvariable ist das Ergebnis eines Münzwurfs. Betrachten Sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der die Ergebnisse eines zufälligen Ereignisses nicht mit gleicher Wahrscheinlichkeit eintreten. Wenn die Zufallsvariable Y die Anzahl der Köpfe ist, die wir durch das Werfen von zwei Münzen erhalten, dann könnte Y 0, 1 oder 2 sein. Dies bedeutet, dass wir bei einem Wurf mit zwei Münzen keinen Kopf, einen Kopf oder beide Köpfe haben könnten.

Die beiden Münzen landen jedoch auf vier verschiedene Arten: TT, HT, TH und HH. Daher ist P(Y=0) = 1/4, da wir eine Chance haben, keinen Kopf zu bekommen (dh zwei Zahlen [TT], wenn die Münzen geworfen werden). In ähnlicher Weise beträgt die Wahrscheinlichkeit, zwei Köpfe (HH) zu erhalten, ebenfalls 1/4. Beachten Sie, dass es wahrscheinlich ist, dass ein Kopf zweimal auftritt: in HT und TH. In diesem Fall ist P (Y=1) = 2/4 = 1/2.