Lognormal- und Normalverteilung
Die Mathematik hinter Finanzen kann ein bisschen verwirrend und mühsam sein. Glücklicherweise führen die meisten Computerprogramme komplexe Berechnungen durch. Es ist jedoch entscheidend, die verschiedenen statistischen Begriffe und Methoden, ihre Bedeutungen und die beste Analyse von Investitionen zu verstehen, um das geeignete Wertpapier auszuwählen und die gewünschte Wirkung auf ein Portfolio zu erzielen.
Eine wichtige Entscheidung ist die Wahl zwischen Normal und Lognormalverteilungen, auf die in der Forschungsliteratur häufig Bezug genommen wird. Vor der Auswahl müssen Sie Folgendes wissen:
- Was sie sind
- Welche Unterschiede bestehen zwischen ihnen
- Wie sie sich auf Anlageentscheidungen auswirken
Normal versus Lognormal
Sowohl Normal- als auch Lognormalverteilungen werden in der statistischen Mathematik verwendet, um die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses zu beschreiben. Das Werfen einer Münze ist ein leicht verständliches Beispiel für Wahrscheinlichkeit. Wenn Sie eine Münze 1000 Mal werfen, wie sieht die Verteilung der Ergebnisse aus? Das heißt, wie oft wird es auf Kopf oder Zahl landen? Es besteht eine 50% ige Wahrscheinlichkeit, dass es entweder auf Kopf oder Schwanz landet. Dieses grundlegende Beispiel beschreibt die Wahrscheinlichkeit und Verteilung von Ergebnissen.
Es gibt viele Arten von Verteilungen, von denen eine die Normal- oder Glockenkurvenverteilung ist.
Bei einer Normalverteilung liegen 68% (34% + 34%) der Ergebnisse innerhalb einer Standardabweichung und 95% (68% + 13,5% + 13,5%) innerhalb von zwei Standardabweichungen. In der Mitte (dem 0-Punkt im Bild oben) sind der Median (der mittlere Wert in der Menge), der Modus (der am häufigsten auftretende Wert) und der Mittelwert ( arithmetischer Durchschnitt ) alle gleich.
Die Lognormalverteilung unterscheidet sich in mehrfacher Hinsicht von der Normalverteilung. Ein wesentlicher Unterschied liegt in seiner Form: Die Normalverteilung ist symmetrisch, die Lognormalverteilung nicht. Da die Werte in einer Lognormalverteilung positiv sind, erzeugen sie eine rechtsschiefe Kurve.
Diese Schiefe ist wichtig, um zu bestimmen, welche Verteilung bei Anlageentscheidungen angemessen ist. Ein weiterer Unterschied besteht darin, dass die zur Ableitung einer Lognormalverteilung verwendeten Werte normalverteilt sind.
Lassen Sie uns das an einem Beispiel verdeutlichen. Ein Anleger möchte einen erwarteten zukünftigen Aktienkurs kennen. Da Aktien mit einer zusammengesetzten Rate wachsen, müssen sie einen Wachstumsfaktor verwenden. Um mögliche erwarteten Preise zu berechnen, werden sie den aktuellen Aktienkurs nehmen und sie vermehren sich durch verschiedene Renditen (die mathematisch abgeleitet werden Exponentialfaktoren basierend auf Compoundierung ), die normal verteilt angenommen werden. Wenn der Investor die Renditen kontinuierlich addiert, entsteht eine Lognormalverteilung. Diese Verteilung ist immer positiv, auch wenn einige der Renditen negativ sind, was bei einer Normalverteilung in 50% der Fälle der Fall ist. Der zukünftige Aktienkurs wird immer positiv sein, da die Aktienkurse nicht unter 0 USD fallen können.
Wann sollte die Normalverteilung im Vergleich zur Lognormalverteilung verwendet werden?
Das vorangegangene Beispiel hat uns geholfen, herauszufinden, was für Anleger wirklich wichtig ist: wann welche Methode anzuwenden ist. Lognormal ist äußerst nützlich bei der Analyse von Aktienkursen. Solange der verwendete Wachstumsfaktor als normalverteilt angenommen wird (wie wir bei der Rendite annehmen), ist die Lognormalverteilung sinnvoll. Die Normalverteilung kann nicht zur Modellierung von Aktienkursen verwendet werden, da sie eine negative Seite hat und Aktienkurse nicht unter Null fallen können.
Eine weitere ähnliche Verwendung der Lognormalverteilung ist die Preisgestaltung von Optionen. Das Black-Scholes Modell – verwendet um Optionen zu bepreisen – verwendet die Lognormalverteilung als Grundlage zur Bestimmung von Optionspreisen.
Umgekehrt funktioniert die Normalverteilung bei der Berechnung der Gesamtportfoliorenditen besser. Die Normalverteilung wird verwendet, weil die gewichtete Durchschnittsrendite (das Produkt aus der Gewichtung eines Wertpapiers in einem Portfolio und seiner Rendite) die tatsächliche Portfoliorendite (positiv oder negativ) genauer beschreibt, insbesondere wenn die Gewichtungen um a. variieren großen Grad. Folgendes ist ein typisches Beispiel:
Obwohl die lognormale Rendite für die Gesamtportfolioperformance über einen längeren Zeitraum schneller berechnet werden kann, erfasst sie nicht die einzelnen Aktiengewichte, was die Rendite enorm verzerren kann. Außerdem können Portfoliorenditen positiv oder negativ sein, und eine lognormale Verteilung wird die negativen Aspekte nicht erfassen.
Die Quintessenz
Obwohl uns die Nuancen, die Normal- und Lognormalverteilungen unterscheiden, meistens entgehen, wird die Kenntnis des Aussehens und der Eigenschaften jeder Verteilung einen Einblick in die Modellierung von Portfoliorenditen und zukünftigen Aktienkursen geben.