12 Juni 2021 16:42

Gesetz der großen Zahlen

Was ist das Gesetz der großen Zahlen?

Das Gesetz der großen Zahlen in Wahrscheinlichkeit und Statistik besagt, dass sich der Mittelwert mit wachsender Stichprobengröße dem Durchschnitt der Gesamtbevölkerung annähert. Im 16. Jahrhundert erkannte der Mathematiker Gerolama Cardano das Gesetz der großen Zahlen, bewies es aber nie. 1713 bewies der Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli diesen Satz in seinem Buch Ars Conjectandi. Es wurde später von anderen namhaften Mathematikern wie Pafnuty Chebyshev, dem Gründer der St. Petersburger mathematischen Schule, verfeinert.

Im Finanzkontext weist das Gesetz der großen Zahl darauf hin, dass ein großes Unternehmen, das schnell wächst, dieses Wachstumstempo nicht ewig aufrechterhalten kann. Als Beispiele für dieses Phänomen werden häufig die größten Blue Chips mit Marktwerten in Hunderten von Milliarden genannt.

Die zentralen Thesen

  • Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass ein beobachteter Stichprobenmittelwert aus einer großen Stichprobe dem tatsächlichen Bevölkerungsdurchschnitt nahe kommt und dass er näher kommt, je größer die Stichprobe ist.
  • Das Gesetz der großen Zahlen garantiert nicht, dass eine gegebene Stichprobe, insbesondere eine kleine Stichprobe, die wahren Grundgesamtheitsmerkmale widerspiegelt oder dass eine Stichprobe, die nicht die wahre Grundgesamtheit widerspiegelt, durch eine nachfolgende Stichprobe ausgeglichen wird.
  • In der Wirtschaft wird der Begriff „Gesetz der großen Zahlen“ manchmal in einem anderen Sinne verwendet, um den Zusammenhang zwischen Größe und Wachstumsraten auszudrücken.

Das Gesetz der großen Zahlen verstehen

In der statistischen Analyse kann das Gesetz der großen Zahlen auf eine Vielzahl von Themen angewendet werden. Es ist möglicherweise nicht möglich, jedes Individuum innerhalb einer bestimmten Population zu befragen, um die erforderliche Datenmenge zu sammeln, aber jeder zusätzliche gesammelte Datenpunkt hat das Potenzial, die Wahrscheinlichkeit zu erhöhen, dass das Ergebnis ein echtes Maß für den Mittelwert ist.

In der Wirtschaft wird der Begriff „Gesetz der großen Zahl“ manchmal in Bezug auf Wachstumsraten verwendet, die in Prozent angegeben werden. Es deutet darauf hin, dass es mit der Expansion eines Unternehmens immer schwieriger wird, die prozentuale Wachstumsrate aufrechtzuerhalten.

Das Gesetz der großen Zahlen bedeutet nicht, dass eine gegebene Stichprobe oder eine Gruppe aufeinanderfolgender Stichproben immer die wahren Grundgesamtheitsmerkmale widerspiegelt, insbesondere bei kleinen Stichproben. Dies bedeutet auch, dass, wenn eine bestimmte Stichprobe oder eine Reihe von Stichproben vom wahren Bevölkerungsdurchschnitt abweicht, das Gesetz der großen Zahlen nicht garantiert, dass aufeinanderfolgende Stichproben den beobachteten Durchschnitt in Richtung des Bevölkerungsdurchschnitts verschieben (wie von Gambler’s Irrtum vorgeschlagen ).


Das Gesetz der großen Zahlen ist nicht mit dem Gesetz der Durchschnittswerte zu verwechseln, das besagt, dass die Verteilung der Ergebnisse in einer Stichprobe (groß oder klein) die Verteilung der Ergebnisse der Grundgesamtheit widerspiegelt.

Das Gesetz der großen Zahlen und die statistische Analyse

Wollte eine Person den Durchschnittswert eines Datensatzes von 100 möglichen Werten bestimmen, wird sie eher einen genauen Durchschnitt erreichen, indem sie 20 Datenpunkte wählt, anstatt sich auf nur zwei zu verlassen. Wenn der Datensatz beispielsweise alle ganzen Zahlen von eins bis 100 enthält und der Stichprobennehmer nur zwei Werte wie 95 und 40 gezogen hat, kann er den Durchschnitt auf ungefähr 67,5 bestimmen. Wenn er weiterhin zufällige Stichproben mit bis zu 20 Variablen erstellt, sollte sich der Durchschnitt in Richtung des wahren Durchschnitts verschieben, da er mehr Datenpunkte berücksichtigt.

Gesetz der großen Zahlen und Unternehmenswachstum

In Wirtschaft und Finanzen wird dieser Begriff manchmal umgangssprachlich verwendet, um auf die Beobachtung zu verweisen, dass exponentielle Wachstumsraten oft nicht skalieren. Dies hängt nicht wirklich mit dem Gesetz der großen Zahl zusammen, sondern kann auf das Gesetz der abnehmenden Grenzerträge oder Skaleneffekte zurückzuführen sein.

Im Januar 2020 wurde beispielsweise der Umsatz von Walmart Inc. mit 523,9 Milliarden US-Dollar verzeichnet, während Amazon.com Inc. im gleichen Zeitraum 280,5 Milliarden US-Dollar einbrachte.1 Wenn Walmart den Umsatz um 50 % steigern wollte, wären ungefähr 262 Milliarden US-Dollar an Umsatz erforderlich. Im Gegensatz dazu müsste Amazon den Umsatz nur um 140,2 Milliarden US-Dollar steigern, um eine Steigerung von 50 % zu erreichen. Basierend auf dem Gesetz der großen Zahlen wäre die Erhöhung um 50 % für Walmart schwieriger zu bewerkstelligen als für Amazon.

Dieselben Prinzipien können auf andere Kennzahlen wie Marktkapitalisierung oder Nettogewinn angewendet werden. Infolgedessen können Anlageentscheidungen auf der Grundlage der damit verbundenen Schwierigkeiten geleitet werden, die Unternehmen mit sehr hoher Marktkapitalisierung in Bezug auf Aktienzuwächse haben können.

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