Wie verwende ich die 72er-Regel, um die kontinuierliche Compoundierung zu berechnen?
Die Zinseszinses zu demonstrieren. Viele Statistiker haben empfohlen, die Zahl 69 anstelle von 72 zu verwenden, um die Ergebnisse kontinuierlicher Wachstumsraten zu schätzen. Berechnen Sie, wie schnell eine kontinuierliche Aufzinsung den Wert Ihrer Investition verdoppelt, indem Sie 69 durch ihre Wachstumsrate dividieren.
Die 72er-Regel basierte eigentlich auf der 69er-Regel, nicht umgekehrt. Für die nicht kontinuierliche Aufzinsung ist die Zahl 72 beliebter, da sie mehr Faktoren enthält und die Renditen schneller berechnet werden können.
Kontinuierliches Mischen
Im Finanzbereich bezieht sich die kontinuierliche Aufzinsung auf eine Wachstumsrate mit unendlich kleinen Aufzinsungsperioden; die generierten Zinsen werden beispielsweise mehr als einmal pro Sekunde berechnet und aufgezinst.
Da eine Investition mit kontinuierlicher Aufzinsung schneller wächst als eine Investition mit einfacher oder diskreter Aufzinsung, sind die üblichen Zeitwertkalkulationen nicht dafür geeignet.
72-Regel und Compoundierung
Die 72er-Regel stammt aus einer üblichen Zinseszinsformel:
Diese Formel ermöglicht es, einen zukünftigen Wert zu finden, der genau doppelt so hoch ist wie der Gegenwartswert. Tun Sie dies, indem Sie FV = 2 und PV = 1 ersetzen:
2=(1−r)nein2 = \left(1-r \right)^n2=(1−r)nein
Nehmen Sie nun den Logarithmus beider Seiten der Gleichung und verwenden Sie die Potenzregel, um die Gleichung weiter zu vereinfachen:
Da 0.693 der natürliche Logarithmus von 2 ist. Diese Vereinfachung macht sich die Tatsache zunutze, dass für kleine Werte von r folgende Näherung gilt:
ln(1+r)≈r\ln{\left(1+r\right)}\approx rlnein(1+r)≈r
Die Gleichung kann weiter umgeschrieben werden, um die Anzahl der Zeiträume zu isolieren: 0,693 / Zinssatz = n. Um den Zinssatz ganzzahlig zu machen, multiplizieren Sie beide Seiten mit 100. Die letzte Formel lautet dann 69,3 / Zinssatz (Prozentsatz) = Anzahl der Perioden.
Einige Zahlen dividiert durch 69,3 zu berechnen ist nicht ganz einfach, daher haben sich Statistiker und Investoren auf die nächste ganze Zahl mit vielen Faktoren festgelegt: 72. Dies schuf die 72-Regel für schnelle zukünftige Wert- und Aufzinsungsschätzungen.
Kontinuierliches Compoundieren und die Regel von 69(.3)
Die Annahme, dass der natürliche Logarithmus von (1 + Zinssatz) gleich dem Zinssatz ist, ist nur wahr, wenn sich der Zinssatz in infinitesimal kleinen Schritten gegen Null annähert. Mit anderen Worten, nur bei kontinuierlicher Aufzinsung verdoppelt sich der Wert einer Anlage nach der 69-Regel.
Wenn Sie wirklich berechnen möchten, wie schnell sich eine Investition bei einem bestimmten Zinssatz verdoppelt, verwenden Sie die Regel von 69. Genauer gesagt, verwenden Sie die Regel von 69,3.
Angenommen, eine Anlage mit festem Zinssatz garantiert ein kontinuierliches Wachstum von 4 %. Indem Sie die Formel 69,3 anwenden und 69,3 durch 4 teilen, können Sie feststellen, dass sich der Wert der Anfangsinvestition in 17,325 Jahren verdoppeln sollte.