Spieltheorie: Jenseits der Grundlagen

Mithilfe der Spieltheorie können reale Szenarien für Situationen wie Preiswettbewerb und Produktveröffentlichungen (und vieles mehr) entworfen und deren Ergebnisse vorhergesagt werden. Unternehmen, die dieses Gerät verwenden (und sich daran halten), um das Nash-Gleichgewicht zu bestimmen, sehen einen großen Vorteil in ihren Budgetierungsstrategien.

Wer ist dran?

Während sequentielle Spiele abwechselnd gespielt werden, werden gleichzeitige Spiele gespielt, wobei jeder Spieler gleichzeitig seine Entscheidung trifft. Bei simultanen Spielen verwenden wir nicht mehr die übliche einführende Methode der Rückwärtsinduktion. Befürworter der Spieltheorie stellen die verschiedenen Ergebnisse oft in einer sogenannten Matrix dar (unten).

Diese Matrix wird als Normalform bezeichnet. Die Entscheidungen von Spieler eins werden auf der linken vertikalen Achse angezeigt und die Entscheidungen von Spieler zwei werden auf der oberen horizontalen Achse angezeigt. Die Auszahlungen für jeden Spieler befinden sich in den entsprechenden Schnittpunkten und werden wie folgt angezeigt (Spieler eins, Spieler zwei).

Das Nash-Gleichgewicht

Das Nash-Gleichgewicht ist ein erreichtes Ergebnis, das, sobald es erreicht ist, bedeutet, dass kein Spieler die Auszahlung erhöhen kann, indem er Entscheidungen einseitig ändert. Es kann auch als „kein Bedauern“ angesehen werden, in dem Sinne, dass der Spieler, sobald eine Entscheidung getroffen wurde, keine Entscheidungen bereuen wird, die die Konsequenzen berücksichtigen.

Das Nash-Gleichgewicht wird in den meisten Fällen mit der Zeit erreicht. Sobald jedoch das Nash-Gleichgewicht erreicht ist, wird nicht davon abgewichen. Nachdem wir erfahren haben, wie man das Nash-Gleichgewicht findet, werfen Sie einen Blick darauf, wie sich ein einseitiger Schritt auf die Situation auswirken würde. Macht es irgendeinen Sinn? Es sollte nicht, und deshalb wird das Nash-Gleichgewicht als „kein Bedauern“ beschrieben.

Nash-Gleichgewichte finden

Schritt eins: Bestimmen Sie die beste Reaktion von Spieler eins auf die Aktionen von Spieler zwei. Wenn wir die Wahlmöglichkeiten untersuchen, die die Auszahlung eines Spielers maximieren können, müssen wir uns ansehen, wie Spieler eins auf jede der Optionen von Spieler zwei reagieren sollte. Eine einfache Möglichkeit, dies visuell zu tun, besteht darin, die Entscheidungen von Spieler zwei zu vertuschen. Betrachten Sie die am Anfang dieses Artikels dargestellte Matrix, wenn wir diese Methode anwenden.

Spieler eins hat zwei Möglichkeiten zu spielen: „oben“ oder „unten“. Spieler zwei hat auch zwei Möglichkeiten zu spielen: „links“ oder „rechts“. In diesem Schritt zur Bestimmung des Nash-Gleichgewichts betrachten wir die Reaktionen auf die Aktionen von Spieler zwei. Wenn Spieler 2 „links“ spielt, können wir „oben“ mit einer Auszahlung von 1 spielen oder „unten“ mit einer Auszahlung von 3. Da 3 größer als 1 ist, werden wir die 3 fett formatieren, um die Option zum Spielen anzuzeigen „hier unten.

Wenn Spieler 2 „richtig“ spielt, können wir entweder „nach oben“ für eine Auszahlung von 4 oder „unten“ für eine Playoff von 3 spielen. Da 4 größer als 3 ist, markieren wir die 4 fett, um die Option anzuzeigen hier „auf“ spielen. Die fett gedruckten Ergebnisse sind unten in der vollständigen Matrix dargestellt.

Schritt 2: Bestimmen Sie die beste Reaktion von Spieler zwei auf die Aktionen von Spieler eins. Wie zuvor bei den Auszahlungen von Spieler zwei für Spieler eins, werden wir die Auszahlungen von Spieler eins ausblenden, wenn wir die besten Antworten für Spieler zwei bestimmen.

Genau wie bei Spieler eins hat jeder Spieler zwei Möglichkeiten zu spielen. Wenn Spieler 1 „oben“ spielt, können wir „links“ mit einer Auszahlung von 3 oder „rechts“ mit einer Auszahlung von 2 spielen. Da 3 größer als 2 ist, fetten wir die 3, um die Option zu zeigen hier „links“ spielen. Wenn Spieler 1 „unten“ spielt, können wir „links“ für eine Auszahlung von 2 oder „rechts“ für eine Auszahlung von 1 spielen. Da 2 größer als 1 ist, markieren wir die 2 fett, um die Option zum Spielen anzuzeigen „hier zurückgelassen. Die fett gedruckten Ergebnisse sind unten in der vollständigen Matrix dargestellt.

Schritt 3: Bestimmen Sie, bei welchen Ergebnissen beide Auszahlungen fett sind. Dieses besondere Ergebnis ist das Nash-Gleichgewicht. Jetzt kombinieren wir die fetten Optionen für beide Spieler in der vollständigen Matrix.

Suchen Sie nach Kreuzungen, an denen beide Auszahlungen fett sind. In diesem Fall finden wir, dass der Schnittpunkt von (Down, Left) mit der Auszahlung von (3, 2) unseren Kriterien entspricht. Dies zeigt unser Nash-Gleichgewicht an.

Diese Methode zur Ermittlung des Nash-Gleichgewichts ist gut geeignet, um Gleichgewichte in simultanen Spielen zu finden, da wir untersuchen, wie ein Spieler unabhängig vom Verhalten des anderen reagieren würde. Dieses Szenario eines simultanen Spiels wird oft in Unternehmen wie Fluggesellschaften gespielt. Unten ist ein Beispiel, ähnlich dem obigen Spiel, wie sich die Preisgestaltung von Fluggesellschaften entwickeln kann. Die Auszahlungen erfolgen in Tausend Dollar. Denken Sie daran, dies sind die Auszahlungen, nicht die Preise. Die zuvor angewendete Methode wird bereits angewendet, um zu zeigen, wo das Nash-Gleichgewicht auftritt.

Wenn wir uns nur die Auswahl von A1 ansehen, können wir sehen, dass, wenn A2 sich für einen niedrigen Preis entscheidet, wir zwischen einem niedrigen Preis für 3.000 oder einem hohen Preis für 2.000 wählen. Wir wählen niedrig, da 3.000 > 2.000. Wir machen das gleiche für A2, das einen hohen Preis spielt, und sehen, dass wir niedrig spielen, weil 4.000 > 3.500. Umgekehrt, wenn wir uns nur die Auswahl von A2 ansehen, können wir sehen, dass wir zwischen „niedrigem Preis“ für 3.000 und „hohem Preis“ für 2.000 wählen, wenn A1 sich für einen niedrigen Preis entscheidet. Da 3.000> 2.000, wählen wir hier die Niedrigpreisoption. Wenn A1 einen hohen Preis spielt, können wir einen niedrigen Preis für 4.000 oder einen hohen Preis für 3.500 berechnen. Da 4.000 > 3.500 wählen wir hier zum niedrigen Preis zu spielen.

Das Nash-Gleichgewicht besteht darin, dass beide Fluggesellschaften einen niedrigen Preis verlangen (wird angezeigt, wenn die Optionen für jede Partei hervorgehoben sind). Wenn beide Fluggesellschaften einen hohen Preis verlangen würden, wären sie beide besser dran als beim Nash Equilibrium.

Warum stimmen sie dem nicht zu? Zunächst einmal ist es illegal, Absprachen zu treffen. Zweitens wäre in diesem Fall eine einseitige Aktion im Namen einer Fluggesellschaft, um einen niedrigen Preis zu verlangen, von Vorteil, was dazu führen würde, dass diese Fluggesellschaft wiederum mehr Geld verdient. Diese Logik zeigt auch, wie das Nash-Gleichgewicht erreicht wird und warum es nicht vorteilhaft ist, einmal davon abzuweichen.

Mehrere Nash-Gleichgewichte

Im Allgemeinen kann es in einem Spiel mehr als ein Gleichgewicht geben. Dies tritt jedoch normalerweise in Spielen mit komplexeren Elementen als zwei Entscheidungen durch zwei Spieler auf. Bei simultanen Spielen, die sich im Laufe der Zeit wiederholen, wird nach einigem Ausprobieren eines dieser multiplen Gleichgewichte erreicht. Dieses Szenario unterschiedlicher Entscheidungen im Laufe der Zeit bis zum Erreichen des Gleichgewichts wird in der Geschäftswelt am häufigsten gespielt, wenn zwei Unternehmen die Preise für stark austauschbare Produkte wie Flugpreise oder Erfrischungsgetränke festlegen.

Die Quintessenz

Mit diesen fortschrittlichen Methoden können realistischere Situationen modelliert und gelöst werden. Die verschiedenen Arten von Nash Equilibria, die wir besprochen haben, sind die am häufigsten gefundenen Lösungen für reale modellierte Spiele. Ein funktionierendes Wissen der Spieltheorie kann Ihnen helfen, eine Strategie zu entwickeln, egal ob Sie Tic-Tac-Toe spielen oder um die größten Gewinne wetteifern.