Erkundung des exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitts

Volatilität ist das häufigste Maß für das Risiko, es gibt jedoch verschiedene Varianten. In einem früheren Artikel haben wir gezeigt, wie einfache historische Volatilität berechnet wird. In diesem Artikel werden wir die einfache Volatilität verbessern und den exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt (EWMA) diskutieren.

Historische vs. implizite Volatilität

Lassen Sie uns zunächst diese Metrik in eine Perspektive bringen. Es gibt zwei allgemeine Ansätze: historische und implizite (oder implizite) Volatilität. Der historische Ansatz geht davon aus, dass die Vergangenheit ein Prolog ist; Wir messen die Geschichte in der Hoffnung, dass sie vorhersagbar ist. Die implizite Volatilität ignoriert dagegen die Geschichte. es löst die durch die Marktpreise implizierte Volatilität. Sie hofft, dass der Markt es am besten weiß und dass der Marktpreis, wenn auch implizit, eine Konsensschätzung der Volatilität enthält.

Wenn wir uns nur auf die drei historischen Ansätze konzentrieren (links oben), haben sie zwei Schritte gemeinsam:

1. Berechnen Sie die Reihe der periodischen Renditen
2. Wenden Sie ein Gewichtungsschema an

Zunächst berechnen wir die periodische Rendite. Dies ist in der Regel eine Reihe von täglichen Renditen, bei denen jede Rendite in fortlaufend zusammengesetzten Begriffen ausgedrückt wird. Für jeden Tag nehmen wir das natürliche Protokoll des Verhältnisses der Aktienkurse (dh den heutigen Preis geteilt durch den gestrigen Preis usw.).

Dies führt zu einer Reihe von täglichen Erträgen von u i bis u i-m, abhängig davon, wie viele Tage (m = Tage) wir messen.

Das bringt uns zum zweiten Schritt: Hier unterscheiden sich die drei Ansätze. Im vorherigen Artikel haben wir gezeigt, dass unter einigen akzeptablen Vereinfachungen die einfache Varianz der Durchschnitt der quadratischen Renditen ist:

Variance=σn2=1m∑ich=1mun- -12where:m=Number of deinys measuredn=Day ichu=Difference of return from average return\ begin {align} & \ text {Varianz} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} {m} \ sum_ {i = 1} ^ mu ^ 2_ {n – 1} \\ & \ textbf {where:} \\ & m = \ text {Anzahl der gemessenen Tage} \\ & n = \ text {Tag} i \\ & u = \ text {Differenz der Rendite von der durchschnittlichen Rendite} \\ \ end {ausgerichtet}. Varianz=σn2.=m

Beachten Sie, dass dies jede der periodischen Renditen summiert und diese Summe dann durch die Anzahl der Tage oder Beobachtungen (m) dividiert. Es ist also wirklich nur ein Durchschnitt der quadratischen periodischen Renditen. Anders ausgedrückt, jede quadratische Rendite erhält das gleiche Gewicht. Wenn also Alpha (a) ein Gewichtungsfaktor ist (insbesondere a = 1 / m), sieht eine einfache Varianz ungefähr so ​​aus:

Die EWMA verbessert die einfache Varianz Die Schwäche dieses Ansatzes besteht darin, dass alle Renditen das gleiche Gewicht haben. Die gestrige (sehr aktuelle) Rendite hat keinen größeren Einfluss auf die Varianz als die Rendite des letzten Monats. Dieses Problem wird durch die Verwendung des exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitts (EWMA) behoben, bei dem neuere Renditen die Varianz stärker gewichten.

Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) führt Lambda ein, das als Glättungsparameter bezeichnet wird. Lambda muss kleiner als eins sein. Unter dieser Bedingung wird anstelle gleicher Gewichte jede quadratische Rendite wie folgt mit einem Multiplikator gewichtet :

Beispielsweise verwendet RiskMetricsTM, ein Finanzrisikomanagementunternehmen, tendenziell ein Lambda von 0,94 oder 94%. In diesem Fall wird die erste (letzte) quadratische periodische Rendite mit (1-0,94) (. 94) = 6% gewichtet. Die nächste quadratische Rendite ist einfach ein Lambda-Vielfaches des vorherigen Gewichts; in diesem Fall 6% multipliziert mit 94% = 5,64%. Und das Gewicht des dritten Vortages beträgt (1-0,94) (0,94) = 5,30%.

Das ist die Bedeutung von „exponentiell“ in der EWMA: Jedes Gewicht ist ein konstanter Multiplikator (dh Lambda, der kleiner als eins sein muss) des Gewichts des Vortages. Dies stellt eine Varianz sicher, die gewichtet oder auf neuere Daten ausgerichtet ist. Der Unterschied zwischen einfacher Volatilität und EWMA für Google ist unten dargestellt.

Einfache Volatilität wiegt effektiv jede periodische Rendite um 0,196%, wie in Spalte O gezeigt (wir hatten zwei Jahre tägliche Aktienkursdaten. Das sind 509 tägliche Renditen und 1/509 = 0,196%). Beachten Sie jedoch, dass Spalte P eine Gewichtung von 6%, dann 5,64%, dann 5,3% usw. zuweist. Das ist der einzige Unterschied zwischen einfacher Varianz und EWMA.

Denken Sie daran: Nachdem wir die gesamte Reihe (in Spalte Q) summiert haben, haben wir die Varianz, die das Quadrat der Standardabweichung ist. Wenn wir Volatilität wollen, müssen wir daran denken, die Quadratwurzel dieser Varianz zu ziehen.

Was ist der Unterschied in der täglichen Volatilität zwischen der Varianz und der EWMA bei Google? Es ist signifikant: Die einfache Varianz ergab eine tägliche Volatilität von 2,4%, aber die EWMA ergab eine tägliche Volatilität von nur 1,4% (Einzelheiten siehe Tabelle). Anscheinend hat sich die Volatilität von Google in jüngerer Zeit beruhigt. Daher kann eine einfache Varianz künstlich hoch sein.

Die heutige Varianz ist eine Funktion der Varianz des Vortages

Sie werden feststellen, dass wir eine lange Reihe exponentiell abnehmender Gewichte berechnen mussten. Wir werden hier nicht rechnen, aber eines der besten Merkmale der EWMA ist, dass sich die gesamte Serie bequem auf eine rekursive Formel reduziert:

Rekursiv bedeutet, dass die heutige Varianz auf die Varianz des Vortages verweist (dh eine Funktion davon ist). Sie finden diese Formel auch in der Tabelle und sie liefert genau das gleiche Ergebnis wie die Langhandberechnung! Es heißt: Die heutige Varianz (unter EWMA) entspricht der gestrigen Varianz (gewichtet mit Lambda) plus der gestrigen quadratischen Rendite (gewichtet mit eins minus Lambda). Beachten Sie, dass wir nur zwei Begriffe addieren: die gewichtete Varianz von gestern und die gewichtete quadratische Rendite von gestern.

Trotzdem ist Lambda unser Glättungsparameter. Ein höheres Lambda (z. B. 94% von RiskMetric) zeigt einen langsameren Zerfall in der Serie an – relativ gesehen werden wir mehr Datenpunkte in der Serie haben und sie werden langsamer „abfallen“. Wenn wir dagegen das Lambda reduzieren, weisen wir auf einen höheren Zerfall hin: Die Gewichte fallen schneller ab und als direkte Folge des schnellen Zerfalls werden weniger Datenpunkte verwendet. (In der Tabelle ist Lambda eine Eingabe, sodass Sie mit seiner Empfindlichkeit experimentieren können.)

Zusammenfassung

Die Volatilität ist die momentane Standardabweichung einer Aktie und die häufigste Risikokennzahl. Es ist auch die Quadratwurzel der Varianz. Wir können die Varianz historisch oder implizit messen (implizite Volatilität). Bei der historischen Messung ist die einfachste Methode eine einfache Varianz. Die Schwäche bei einfacher Varianz ist jedoch, dass alle Renditen das gleiche Gewicht erhalten. Wir stehen also vor einem klassischen Kompromiss: Wir wollen immer mehr Daten, aber je mehr Daten wir haben, desto stärker wird unsere Berechnung durch entfernte (weniger relevante) Daten verwässert. Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) verbessert die einfache Varianz, indem den periodischen Renditen Gewichte zugewiesen werden. Auf diese Weise können wir beide eine große Stichprobengröße verwenden, aber auch neueren Renditen mehr Gewicht beimessen.