Duration und Konvexität zur Messung des Anleiherisikos

Was sind Dauer und Konvexität?

Duration und Konvexität sind zwei Instrumente zur Steuerung des Risikos von festverzinslichen Anlagen. Die Duration misst die Sensitivität der Anleihe gegenüber Zinsänderungen. Konvexität bezieht sich auf die Wechselwirkung zwischen dem Kurs einer Anleihe und ihrer Rendite, wenn sich die Zinssätze ändern.

Bei Kuponanleihen verlassen sich Anleger auf eine Kennzahl, die als Duration bekannt ist, um die Preissensitivität einer Anleihe gegenüber Zinsänderungen zu messen. Da eine Kuponanleihe während ihrer Laufzeit eine Reihe von Zahlungen leistet, benötigen Rentenanleger Möglichkeiten, die durchschnittliche Laufzeit des versprochenen Cashflows einer Anleihe zu messen, um als zusammenfassende Statistik der effektiven Laufzeit der Anleihe zu dienen. Dies wird durch die Duration erreicht, sodass Rentenanleger die Unsicherheit bei der Verwaltung ihrer Portfolios besser einschätzen können.

Laufzeit einer Anleihe

1938 bezeichnete der kanadische Ökonom Frederick Robertson Macaulay das Konzept der effektiven Fälligkeit als „Dauer“ der Anleihe. Dabei schlug er vor, dass diese Duration als gewichteter Durchschnitt der Fälligkeitszeiten jedes Coupons oder der Kapitalzahlung der Anleihe berechnet wird. Die Formel für die Dauer von Macaulay lautet wie folgt:

Dauer im Fixed Income Management

Die Duration ist aus folgenden Gründen für die Verwaltung von festverzinslichen Portfolios von entscheidender Bedeutung :

1. Es ist eine einfache zusammenfassende Statistik der effektiven durchschnittlichen Laufzeit eines Portfolios.
2. Es ist ein wesentliches Instrument, um Portfolios gegen Zinsrisiken zu immunisieren.
3. Es schätzt die Zinssensitivität eines Portfolios.

Die Dauermetrik weist die folgenden Eigenschaften auf:

• Die Duration einer Nullkuponanleihe entspricht der Restlaufzeit.
• Bei konstanter Laufzeit ist die Duration einer Anleihe geringer, wenn der Kuponsatz höher ist, aufgrund der Auswirkungen früher höherer Kuponzahlungen.
• Bei konstantem Kuponsatz erhöht sich die Duration einer Anleihe im Allgemeinen mit der Restlaufzeit. Es gibt jedoch Ausnahmen, wie bei Instrumenten wie Deep-Discount-Anleihen, bei denen die Duration mit zunehmenden Laufzeitplänen sinken kann.
• Bei konstanten anderen Faktoren ist die Duration von Kuponanleihen höher, wenn die Renditen der Anleihen bis zur Fälligkeit niedriger sind. Bei Nullkuponanleihen entspricht die Duration jedoch der Restlaufzeit, unabhängig von der Rendite bis zur Fälligkeit.
• Die Dauer der Level- Ewige beträgt (1 + y) / y. Bei einer Rendite von 10 % beträgt die Dauer der ewigen Rente beispielsweise, die 100 US-Dollar pro Jahr zahlt, 1,10 / 0,10 = 11 Jahre. Bei einer Rendite von 8 % entspricht es jedoch 1,08 / 0,08 = 13,5 Jahre. Dieses Prinzip macht deutlich, dass Laufzeit und Laufzeit sehr unterschiedlich sein können. Ein typisches Beispiel: Die Laufzeit der ewigen Rente ist unendlich, während die Laufzeit des Instruments bei einer Rendite von 10 % nur 11 Jahre beträgt. Der barwertgewichtete Cashflow zu Beginn der Laufzeit der ewigen Rente dominiert die Durationsberechnung.

Dauer für Lückenmanagement

Viele Banken weisen Inkongruenzen zwischen den Laufzeiten von Aktiva und Passiva auf. Bankverbindlichkeiten, bei denen es sich in erster Linie um Einlagen gegenüber Kunden handelt, sind in der Regel kurzfristig und weisen eine geringe Duration auf. Im Gegensatz dazu besteht das Vermögen einer Bank hauptsächlich aus ausstehenden gewerblichen und Verbraucherkrediten oder Hypotheken. Diese Vermögenswerte haben in der Regel eine längere Laufzeit und ihre Werte reagieren empfindlicher auf Zinsschwankungen. In Zeiten unerwarteter Zinserhöhungen kann es bei Banken zu drastischen Vermögensverlusten kommen, wenn der Wert ihrer Vermögenswerte stärker sinkt als ihre Verbindlichkeiten.

Eine Technik namens Gap Management ist ein weit verbreitetes Risikomanagement-Tool, bei dem Banken versuchen, die „Lücke“ zwischen Aktiv- und Passivlaufzeiten zu begrenzen. Das Gap-Management stützt sich stark auf variabel verzinsliche Hypotheken (ARMs) als Schlüsselkomponenten zur Verkürzung der Duration von Bankvermögensportfolios. Im Gegensatz zu herkömmlichen Hypotheken verlieren ARMs nicht an Wert, wenn die Marktzinsen steigen, da die von ihnen gezahlten Zinssätze an den aktuellen Zinssatz gebunden sind.

Auf der anderen Seite der Bilanz, die Einführung von längerfristigen Bankeinlagenzertifikaten (CDs) mit einem festen Laufzeit bis zur Fälligkeit, dient die Dauer der Bankverbindlichkeiten zu verlängern, ebenfalls auf die Reduzierung der Dauer Lücke beitragen.

Lückenmanagement verstehen

Banken beschäftigen Lücke Management die Dauer von Vermögenswerten und Schulden gleichzusetzen, effektiv ihre Gesamtposition von immunisierenden Zinsbewegungen. Theoretisch sind die Aktiva und Passiva einer Bank ungefähr gleich groß. Bei gleicher Laufzeit wirkt sich daher jede Änderung der Zinssätze in gleichem Maße auf den Wert von Vermögenswerten und Verbindlichkeiten aus, und Zinsänderungen hätten folglich nur geringe oder keine endgültige Auswirkung auf das Nettovermögen. Daher erfordert die Nettowertimpfung eine Portfolioduration oder -lücke von Null.

Institute mit zukünftigen festen Verpflichtungen wie Pensionskassen und Versicherungen unterscheiden sich von Banken dadurch, dass sie mit Blick auf zukünftige Verpflichtungen agieren. Pensionskassen sind beispielsweise verpflichtet, ausreichende Mittel vorzuhalten, um Arbeitnehmern im Rentenalter einen Einkommensfluss zu ermöglichen. Mit den Zinssätzen schwanken auch der Wert der vom Fonds gehaltenen Vermögenswerte und der Zinssatz, zu dem diese Vermögenswerte Erträge erwirtschaften. Daher möchten Portfoliomanager möglicherweise den zukünftigen kumulierten Wert des Fonds zu einem bestimmten Zeitpunkt gegen Zinssatzschwankungen schützen (immunisieren). Mit anderen Worten, die Immunisierung sichert laufzeitkongruente Vermögenswerte und Verbindlichkeiten, sodass eine Bank ihren Verpflichtungen unabhängig von Zinsänderungen nachkommen kann.

Konvexität im Fixed-Income-Management

Leider hat die Duration Grenzen, wenn sie als Maß für die Zinssensitivität verwendet wird. Während die Statistik einen linearen Zusammenhang zwischen Kurs- und Renditeveränderungen bei Anleihen berechnet, ist der Zusammenhang zwischen Kurs- und Renditeveränderungen in Wirklichkeit konvex.

In der Abbildung unten stellt die gekrümmte Linie die Preisänderung bei einer Renditeänderung dar. Die tangentiale Gerade, die die Kurve tangiert, stellt die geschätzte Preisänderung über die Dauerstatistik dar. Der schattierte Bereich zeigt die Differenz zwischen der Durationsschätzung und der tatsächlichen Preisbewegung. Wie bereits erwähnt, ist der Fehler bei der Schätzung der Kursänderung der Anleihe umso größer, je größer die Zinsänderung ist.

Die Konvexität, ein Maß für die Krümmung der Kursänderungen einer Anleihe in Bezug auf Zinsänderungen, behebt diesen Fehler, indem sie die Änderung der Duration misst, wenn die Zinssätze schwanken. Die Formel lautet wie folgt:

C.=d2(B(r))B∗d∗r2where:C.=convexityB=the bond pricer=the interest rated=duration\begin{ausgerichtet} &C = \frac{d^2\left(B\left(r \right)\right)}{B*d*r^2} \\ &\textbf{wobei:}\\ &C = \text{Konvexität}\\ &B = \text{der Anleihekurs}\\ &r = \text{der Zinssatz}\\ &d = \text{duration}\\ \end{aligned}​C.=B∗d∗r2

Im Allgemeinen gilt: Je höher der Kupon, desto geringer die Konvexität, da eine 5 %-Anleihe empfindlicher auf Zinsänderungen reagiert als eine 10 %-Anleihe. Aufgrund der Call – Funktion, Optionsanleihen wird angezeigt negativen Konvexität, wenn die Renditen zu niedrig fallen, verringert sich die Dauer Bedeutung, wenn die Renditen sinken. Nullkuponanleihen weisen die höchste Konvexität auf, wobei Beziehungen nur dann gültig sind, wenn die verglichenen Anleihen die gleiche Duration und Rendite bis zur Fälligkeit aufweisen. Konkret: Eine Anleihe mit hoher Konvexität reagiert empfindlicher auf Zinsänderungen und sollte daher bei Zinsänderungen stärkere Preisschwankungen erfahren.

Das Gegenteil ist bei Anleihen mit niedriger Konvexität der Fall, deren Kurse bei Zinsänderungen nicht so stark schwanken. Bei der grafischen Darstellung in einem zweidimensionalen Diagramm sollte diese Beziehung eine lang geneigte U-Form erzeugen (daher der Begriff „konvex“).

Niedrig- und Nullkuponanleihen, die tendenziell niedrigere Renditen aufweisen, weisen die höchste Zinsvolatilität auf. Technisch bedeutet dies, dass die Anpassung erfordert, um mit der höheren Kursänderung nach Zinsbewegungen Schritt zu halten. Niedrigere Kuponsätze führen zu niedrigeren Renditen, und niedrigere Renditen führen zu einem höheren Grad an Konvexität.

Die Quintessenz

Sich ständig ändernde Zinssätze führen zu Unsicherheit bei der Anlage in festverzinsliche Wertpapiere. Duration und Konvexität ermöglichen es Anlegern, diese Unsicherheit zu quantifizieren und ihnen bei der Verwaltung ihrer festverzinslichen Portfolios zu helfen.