Bedingte Wahrscheinlichkeit

Was ist bedingte Wahrscheinlichkeit?

Bedingte Wahrscheinlichkeit ist definiert als die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis oder Ergebnis eintritt, basierend auf dem Eintreten eines früheren Ereignisses oder Ergebnisses. Die bedingte Wahrscheinlichkeit wird berechnet, indem die Wahrscheinlichkeit des vorhergehenden Ereignisses mit der aktualisierten Wahrscheinlichkeit des nachfolgenden oder bedingten Ereignisses multipliziert wird.

Beispielsweise:

• Ereignis A ist, dass eine Person, die sich für ein College bewirbt, akzeptiert wird. Es besteht eine 80-prozentige Chance, dass diese Person zum College aufgenommen wird.
• Ereignis B ist, dass dieser Person ein Wohnheim zugewiesen wird. Wohnheimplätze werden nur für 60 % aller aufgenommenen Studenten bereitgestellt.
• P (Akzeptiert und Wohnheimunterkünfte) = P (Wohnheimunterkünfte | Akzeptiert) P (Akzeptiert) = (0,60)*(0,80) = 0,48.

Eine bedingte Wahrscheinlichkeit würde diese beiden Ereignisse in Beziehung zueinander setzen, wie zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass Sie beide zum College zugelassen werden  und  Ihnen ein Wohnheim zur Verfügung gestellt wird.

Bedingte Wahrscheinlichkeit kann der unbedingten Wahrscheinlichkeit gegenübergestellt werden. Die unbedingte Wahrscheinlichkeit bezieht sich auf die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, unabhängig davon, ob andere Ereignisse eingetreten sind oder andere Bedingungen vorliegen.

Bedingte Wahrscheinlichkeit verstehen

Wie bereits erwähnt, hängen bedingte Wahrscheinlichkeiten von einem früheren Ergebnis ab. Es werden auch eine Reihe von Annahmen getroffen. Angenommen, Sie ziehen drei Murmeln – rot, blau und grün – aus einer Tüte. Jede Murmel hat die gleiche Chance, gezogen zu werden. Wie groß ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, die rote Murmel zu ziehen, nachdem bereits die blaue gezogen wurde?

Erstens beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine blaue Murmel zu ziehen, etwa 33%, da dies eines von drei möglichen Ergebnissen ist. Unter der Annahme, dass dieses erste Ereignis eintritt, bleiben zwei Murmeln übrig, von denen jede eine 50%ige Chance hat, gezogen zu werden. Die Chance, eine blaue Murmel zu zeichnen, nachdem bereits eine rote Murmel gezeichnet wurde, beträgt also etwa 16,5% (33% x 50%).

Als weiteres Beispiel für weitere Einblicke in dieses Konzept ist zu bedenken, dass ein fairer Würfel gewürfelt wurde und Sie aufgefordert werden, die Wahrscheinlichkeit anzugeben, dass es eine Fünf war. Es gibt sechs gleich wahrscheinliche Ergebnisse, Ihre Antwort lautet also 1/6. Aber stellen Sie sich vor, Sie erhalten vor der Antwort zusätzliche Informationen, dass die gewürfelte Zahl ungerade war. Da nur drei ungerade Zahlen möglich sind, von denen eine fünf ist, würden Sie Ihre Schätzung für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Fünf von 1/6 auf 1/3 gewürfelt wurde, sicherlich revidieren.

Diese  revidierte  Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis  A  eingetreten ist, unter Berücksichtigung der zusätzlichen Information, dass ein anderes Ereignis  B  bei diesem Versuch des Experiments definitiv eingetreten ist, wird als  bedingte Wahrscheinlichkeit von  A  gegeben  B bezeichnet  und mit P(A|B) bezeichnet.

Bedingte Wahrscheinlichkeitsformel

P(B|A) = P(A und B) / P(A)

Oder:

P(B|A) = P(A∩B) / P(A)

Ein weiteres Beispiel für bedingte Wahrscheinlichkeit

Nehmen wir als weiteres Beispiel an, ein Student beantragt die Zulassung an einer Universität und hofft auf ein akademisches Stipendium. Die Schule, an der sie sich bewerben, akzeptiert 100 von 1.000 Bewerbern (10%) und vergibt akademische Stipendien an 10 von 500 akzeptierten Schülern (2%). Von den Stipendiatinnen und Stipendiaten erhalten 50 % auch Studienstipendien für Bücher, Essen und Wohnen. Für unseren ambitionierten Studenten beträgt die Chance, dass er angenommen wird und dann ein Stipendium erhält, 0,2% (0,1 x 0,02). Die Chance auf Aufnahme, Stipendium, dann auch Stipendium für Bücher etc. liegt bei 0,1 % (0,1 x 0,02 x 0,5). (Sie können sich auch den Satz von Bayes ansehen.)

Bedingte Wahrscheinlichkeit vs. gemeinsame Wahrscheinlichkeit und marginale Wahrscheinlichkeit

Bedingte Wahrscheinlichkeit : p(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A, vorausgesetzt, dass Ereignis B eintritt. Beispiel: Wenn Sie eine rote Karte gezogen haben, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Vier handelt (p (vier | rot)) = 2/26 = 1/13. Von den 26 roten Karten (bei einer roten Karte) gibt es also zwei Vieren, also 2/26 = 1/13.

Grenzwahrscheinlichkeit : Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt (p(A)), kann als unbedingte Wahrscheinlichkeit betrachtet werden. Es ist nicht von einem anderen Ereignis abhängig. Beispiel: die Wahrscheinlichkeit, dass eine gezogene Karte rot ist (p(rot) = 0,5). Ein weiteres Beispiel: die Wahrscheinlichkeit, dass eine gezogene Karte eine 4 ist (p(vier)=1/13).

Gemeinsame Wahrscheinlichkeit : p (A und B). Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A  und  Ereignis B. Es ist die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von zwei oder mehr Ereignissen. Die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts von A und B kann p (A ∩ B) geschrieben werden. Beispiel: die Wahrscheinlichkeit, dass eine Karte eine Vier ist und rot =p(vier und rot) = 2/52=1/26. (Es gibt zwei rote Vieren in einem 52er-Deck, die Herz-4 und die Karo-4).

Satz von Bayes

Der Satz von Bayes, benannt nach dem britischen Mathematiker Thomas Bayes aus dem 18. Jahrhundert, ist eine mathematische Formel zur Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeit. Das Theorem bietet eine Möglichkeit, bestehende Vorhersagen oder Theorien zu revidieren (Update-Wahrscheinlichkeiten), wenn neue oder zusätzliche Beweise vorliegen. Im Finanzwesen kann der Satz von Bayes verwendet werden, um das Risiko der Kreditvergabe an potenzielle Kreditnehmer zu bewerten.

Der Satz von Bayes wird auch Bayes-Regel oder Bayes-Gesetz genannt und ist die Grundlage des Gebiets der Bayes-Statistik. Dieser Satz von Wahrscheinlichkeitsregeln ermöglicht es einem, seine Vorhersagen von auftretenden Ereignissen basierend auf neu empfangenen Informationen zu aktualisieren, was zu besseren und dynamischeren Schätzungen führt.