Zentraler Grenzwertsatz (CLT)
Was ist der zentrale Grenzwertsatz (CLT)?
In der Untersuchung der Wahrscheinlichkeitstheorie besagt der zentrale Grenzwertsatz (CLT), dass sich die Verteilung der Stichprobe einer Normalverteilung (auch als „Glockenkurve“ bezeichnet) annähert, wenn die Stichprobengröße größer wird, vorausgesetzt, dass alle Stichproben gleich groß sind. und unabhängig von der Form der Bevölkerungsverteilung.
Anders gesagt, CLT ist eine statistische Theorie, die besagt, dass bei einer ausreichend großen Stichprobengröße aus einer Grundgesamtheit mit endlicher Varianz der Mittelwert aller Stichproben aus derselben Grundgesamtheit ungefähr gleich dem Mittelwert der Grundgesamtheit ist. Darüber hinaus folgen alle Stichproben einem ungefähren Normalverteilungsmuster, wobei alle Varianzen ungefähr gleich der Varianz der Grundgesamtheit dividiert durch die Größe jeder Stichprobe sind.
Die zentralen Thesen
- Der zentrale Grenzwertsatz (CLT) besagt, dass sich die Verteilung der Stichprobenmittelwerte einer Normalverteilung annähert, wenn die Stichprobengröße größer wird.
- Stichprobengrößen von 30 oder mehr werden als ausreichend erachtet, damit die CLT halten kann.
- Ein wichtiger Aspekt von CLT ist, dass der Durchschnitt der Stichprobenmittelwerte und Standardabweichungen dem Grundgesamtheitsmittelwert und der Standardabweichung entsprechen.
- Eine ausreichend große Stichprobengröße kann die Merkmale einer Population genau vorhersagen.
Obwohl dieses Konzept erstmals 1733 von Abraham de Moivre entwickelt wurde, wurde es erst 1930 offiziell benannt, als der bekannte ungarische Mathematiker George Polya es offiziell als Zentralen Grenzwertsatz bezeichnete.1
Verständnis des zentralen Grenzwertsatzes (CLT)
Nach dem zentralen Grenzwertsatz liegt der Mittelwert einer Datenstichprobe mit zunehmender Stichprobengröße ungeachtet der tatsächlichen Verteilung der Daten näher am Mittelwert der Gesamtpopulation. Mit anderen Worten, die Daten sind unabhängig davon, ob die Verteilung normal oder aberrant ist, genau.
Als allgemeine Regel gelten Stichprobengrößen von 30 oder mehr als ausreichend, damit die CLT gültig ist, was bedeutet, dass die Verteilung der Stichprobenmittelwerte ziemlich normalverteilt ist. Daher nehmen die grafisch dargestellten Ergebnisse die Form einer Normalverteilung an, je mehr Stichproben man nimmt.
Der zentrale Grenzwertsatz weist ein Phänomen auf, bei dem der Durchschnitt der Stichprobenmittelwerte und Standardabweichungen dem Populationsmittelwert und der Standardabweichung entsprechen, was bei der genauen Vorhersage der Eigenschaften von Populationen äußerst nützlich ist.
Der zentrale Grenzwertsatz im Finanzwesen
Der CLT ist nützlich, wenn Sie die Renditen einer einzelnen Aktie oder breiterer Indizes untersuchen, da die Analyse aufgrund der relativ einfachen Generierung der erforderlichen Finanzdaten einfach ist. Folglich verlassen sich Anleger aller Art auf das CLT, um Aktienrenditen zu analysieren, Portfolios aufzubauen und Risiken zu managen.
Angenommen, ein Anleger möchte die Gesamtrendite für einen Aktienindex analysieren, der 1.000 Aktien umfasst. In diesem Szenario kann dieser Anleger einfach eine zufällige Stichprobe von Aktien untersuchen, um die geschätzten Renditen des Gesamtindex zu ermitteln. Es müssen mindestens 30 zufällig ausgewählte Aktien aus verschiedenen Sektoren ausgewählt werden, damit der zentrale Grenzwertsatz gilt. Darüber hinaus müssen zuvor ausgewählte Aktien mit anderen Namen ausgetauscht werden, um Verzerrungen zu vermeiden.