Binomialbaum
Was ist ein Binomialbaum?
Ein Binomialbaum ist eine grafische Darstellung möglicher innerer Werte, die eine Option an verschiedenen Knoten oder Zeiträumen annehmen kann. Der Wert der Option hängt von der zugrunde liegenden Aktie oder Anleihe ab, und der Wert der Option an einem beliebigen Knoten hängt von der Wahrscheinlichkeit ab, dass der Preis des zugrunde liegenden Vermögenswerts an einem bestimmten Knoten entweder sinkt oder steigt.
Die zentralen Thesen
- Ein Binomialbaum ist eine Darstellung der inneren Werte, die eine Option zu verschiedenen Zeitpunkten annehmen kann.
- Der Wert der Option an einem beliebigen Knoten hängt von der Wahrscheinlichkeit ab, dass der Preis des Basiswerts an einem bestimmten Knoten entweder sinkt oder steigt.
- Ein Nachteil: Ein Basiswert kann nur genau einen von zwei möglichen Werten wert sein, was nicht realistisch ist.
Wie ein Binomialbaum funktioniert
Ein Binomialbaum ist ein nützliches Werkzeug bei der Preisbildung amerikanischer Optionen und eingebetteter Optionen. Ihre Einfachheit ist ihr Vor- und Nachteil zugleich. Der Baum ist mechanisch leicht zu modellieren, aber das Problem liegt in den möglichen Werten, die der zugrunde liegende Vermögenswert in einer Periode annehmen kann.
In einem Binomialbaummodell kann das zugrunde liegende Asset nur genau einen von zwei möglichen Werten wert sein, was nicht realistisch ist, da Assets eine beliebige Anzahl von Werten innerhalb eines bestimmten Bereichs wert sein können. Ein Binomialbaum ermöglicht es Anlegern zu beurteilen, wann und ob eine Option ausgeübt wird. Eine Option hat eine höhere Wahrscheinlichkeit, ausgeübt zu werden, wenn die Option einen positiven Wert hat.
Besondere Überlegungen
Das Binomial Options Pricing Model (BOPM) ist eine Methode zur Bewertung von Optionen. Der erste Schritt des BOPM besteht darin, den Binomialbaum zu erstellen. Das BOPM basiert auf dem Basiswert über einen bestimmten Zeitraum gegenüber einem einzelnen Zeitpunkt.
Es gibt einige wichtige Annahmen in einem binomialen Optionspreismodell. Erstens gibt es nur zwei mögliche Preise, einen nach oben und einen nach unten. Zweitens zahlt der Basiswert keine Dividenden. Drittens ist der Zinssatz konstant und viertens fallen keine Steuern und Transaktionskosten an.
Binomialbaum vs. Black-Scholes-Modell
Das Black-Scholes-Modell ist eine weitere Methode zur Bewertung von Optionen. Die Berechnung des Preises mit dem Binomialbaum ist langsamer als das Black-Scholes-Modell. Der Binomialbaum und BOPM sind jedoch genauer. Dies gilt insbesondere für Optionen mit längerer Laufzeit und Wertpapiere mit Dividendenausschüttung.
Das Black-Scholes-Modell ist zuverlässiger, wenn es um komplizierte Optionen und solche mit viel Unsicherheit geht. Bei europäischen Optionen ohne Dividenden konvergieren die Ergebnisse des Binomialmodells und des Black-Scholes-Modells mit zunehmenden Zeitschritten.
Beispiel für einen Binomialbaum
Angenommen, eine Aktie hat einen Preis von 100 USD, einen Optionsausübungspreis von 100 USD, ein Ablaufdatum von einem Jahr und einen Zinssatz (r) von 5%.
Am Ende des Jahres wird die Aktie mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % auf 125 USD steigen und mit einer Wahrscheinlichkeit von 50 % auf 90 USD fallen. Wenn die Aktie auf 125 US-Dollar steigt, beträgt der Wert der Option 25 US-Dollar (125 US-Dollar Aktienkurs minus 100 US-Dollar Ausübungspreis), und wenn sie auf 90 US-Dollar fällt, ist die Option wertlos.
Der Optionswert ist:
Optionswert = [(Aufstiegswahrscheinlichkeit * Aufwärtswert) + (Abstiegswahrscheinlichkeit * Abwärtswert)] / (1 + r) = [(0,50 * 25 USD) + (0,50 * 0 USD)] / (1 + 0,05) = 11,90 USD.