Das Gesetz der großen Zahlen in der Versicherungswirtschaft

Versicherungsunternehmen verlassen sich auf das Gesetz der großen Zahl, um den Wert und die Häufigkeit zukünftiger Ansprüche, die sie an die Versicherungsnehmer zahlen werden, einzuschätzen. Wenn es perfekt funktioniert, führen Versicherungsunternehmen ein stabiles Geschäft, die Verbraucher zahlen eine faire und genaue Prämie und das gesamte Finanzsystem vermeidet ernsthafte Störungen. Allerdings halten die theoretischen Vorteile des Gesetzes der großen Zahlen in der realen Welt nicht immer stand.

Was ist das Gesetz der großen Zahlen?

Das Gesetz der großen Zahlen stammt aus der Wahrscheinlichkeitstheorie der Statistik. Sie schlägt vor, dass die Streuung um die mittlere Beobachtung abnimmt, wenn die Stichprobe von Beobachtungen zunimmt. Mit anderen Worten, der Durchschnittswert gewinnt an Vorhersagekraft.

Betrachten Sie zum Beispiel einen einfachen Versuch, bei dem jemand ein Viertel umdreht. Jedes Mal, wenn das Viertel auf Kopf landet, verzeichnet die Person einen Punkt. Es werden keine Punkte aufgezeichnet, wenn es als Schwänze landet. Der erwartete Wert eines Münzwurfs in diesem Versuch beträgt 0,5 Punkte, da nur eine 50% ige Chance besteht, dass das Quartal als Kopf landet.

Wenn Sie die Münze nur zweimal werfen, könnte der Durchschnittswert weit vom erwarteten Wert abweichen. Aufeinanderfolgende Köpfe ergeben einen Durchschnittswert von einem Punkt, während zwei Schwänze einen Durchschnittswert von null Punkten haben. Eine Erhöhung der Anzahl der Beobachtungen führt eher zu einem Durchschnittswert, der näher am erwarteten Wert liegt. Wenn es während 100 Flips 53 Kopf und 47 Zahl gibt, wäre der Durchschnittswert 0,53, was dem erwarteten Wert von 0,5 sehr nahe kommt.

So funktioniert das Gesetz der großen Zahlen.

Das Gesetz der großen Zahlen in der Versicherung verstehen

In der Versicherungswirtschaft erzeugt das Gesetz der großen Zahl sein Axiom. Mit steigender Anzahl von Forderungseinheiten (Versicherungsnehmern) ist die Wahrscheinlichkeit höher, dass der tatsächliche Verlust pro Forderungseinheit dem erwarteten Verlust pro Forderungseinheit entspricht. Um es in ökonomischer Sprache auszudrücken, gibt es Skalenerträge in der Versicherungsproduktion.

In der Praxis bedeutet dies, dass es einfacher ist, die richtige Prämie zu ermitteln und dadurch das Risiko für den Versicherer zu reduzieren, da mehr Policen innerhalb einer Versicherungsklasse ausgestellt werden. Ein Versicherungsunternehmen ist besser dran, 500 statt 150 Feuerversicherungspolicen auszugeben, wenn eine stabile und unabhängige Wahrscheinlichkeitsverteilung für das Schadenrisiko vorausgesetzt wird.

Anders ausgedrückt: Angenommen, eine Krankenkasse stellt fest, dass fünf von 150 Personen in einem bestimmten Jahr eine schwere und teure Verletzung erleiden. Versichert das Unternehmen nur 10 oder 25 Personen, ist es weitaus größeren Risiken ausgesetzt, als wenn es alle 150 Personen versichern kann. Das Unternehmen kann zuversichtlicher sein, dass 150 Versicherungsnehmer zusammen genügend Prämien zahlen, um die Schäden von fünf schwer verletzten Kunden zu decken.

Besondere Überlegungen

Laut der National Association of Insurance Commissioners gab es in den Vereinigten Staaten im Jahr 2019 fast 5.965 Versicherungsträger.  Einige Fluggesellschaften sind erfolgreicher als andere, die die gleiche oder ähnliche Deckungsarten anbieten. Wenn es dank des Gesetzes der großen Zahl steigende Skalenerträge in der Versicherung gibt, warum dominieren dann so viele Versicherungsunternehmen und nicht wenige Giganten die Branche?

Erstens sind nicht alle Versicherungsunternehmen im Versicherungsgeschäft gleichermaßen versiert. Dazu gehören die Aufrechterhaltung der betrieblichen Effizienz, die Berechnung der effektiven Prämien und die Minderung des Verlustrisikos nach Einreichung eines Schadenfalls. Die meisten dieser Funktionen wirken sich nicht auf das Gesetz der großen Anzahl aus.

Das Gesetz der großen Zahl verliert jedoch an Wirkung, wenn die risikotragenden Versicherungsnehmer voneinander unabhängig sind. Dies ist am einfachsten in der Kranken- und Feuerversicherungsbranche zu erkennen, da Krankheiten und Brände von einem Versicherungsnehmer auf einen anderen übertragen werden können, wenn sie nicht ordnungsgemäß eingedämmt werden. Dieses Problem wird als Ansteckung bezeichnet.

Es gibt auch potenziell versicherbare Risiken,  für die das Gesetz der großen Zahl theoretisch nützlich sein könnte, aber es gibt nicht genügend potenzielle Kunden, um es zum Funktionieren zu bringen. Erwägen Sie, eine Stadt gegen das Risiko eines nuklearen oder biologischen Krieges zu versichern. Es würde Tausende oder Millionen von Großstädten erfordern, Prämien zu zahlen, um die Kosten eines realisierten Risikos auszugleichen. Es gibt nicht genug Städte auf der Welt, um das zu schaffen.

Schließlich hat jeder Versicherungskonsument eine individuelle Risikopräferenz, Zeitpräferenz und einen individuellen Preispunkt für die Versicherung. Mit steigender Nachfragevielfalt sinkt der potenzielle Nutzen des Gesetzes der großen Zahl, da weniger Menschen ähnliche Deckungsarten wünschen.