Bayes‘ Satz Definition
Was ist der Satz von Bayes?
Der Satz von Bayes, benannt nach dem britischen Mathematiker Thomas Bayes aus dem 18. Jahrhundert, ist eine mathematische Formel zur Bestimmung der bedingten Wahrscheinlichkeit. Bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis eintritt, basierend auf einem früheren Ergebnis. Der Satz von Bayes bietet eine Möglichkeit, bestehende Vorhersagen oder Theorien (Aktualisierungswahrscheinlichkeiten) bei neuen oder zusätzlichen Beweisen zu revidieren. Im Finanzwesen kann der Satz von Bayes verwendet werden, um das Risiko der Kreditvergabe an potenzielle Kreditnehmer zu bewerten.
Der Satz von Bayes wird auch Bayes-Regel oder Bayes-Gesetz genannt und ist die Grundlage des Gebiets der Bayes-Statistik.
Die zentralen Thesen
- Der Satz von Bayes ermöglicht es Ihnen, vorhergesagte Wahrscheinlichkeiten eines Ereignisses zu aktualisieren, indem Sie neue Informationen einbeziehen.
- Der Satz von Bayes wurde nach dem Mathematiker Thomas Bayes aus dem 18. Jahrhundert benannt.
- Es wird häufig im Finanzwesen bei der Aktualisierung der Risikobewertung eingesetzt.
Das Theorem von Bayes verstehen
Anwendungen des Theorems sind weit verbreitet und nicht auf den Finanzbereich beschränkt. Als Beispiel kann der Satz von Bayes verwendet werden, um die Genauigkeit medizinischer Testergebnisse zu bestimmen, indem die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Person mit einer Krankheit und die allgemeine Genauigkeit des Tests berücksichtigt werden. Bayes-Theorem basiert auf Einbeziehung vorherige Wahrscheinlichkeitsverteilungen zu erzeugen, um Posteriori – Wahrscheinlichkeiten. Bei der Bayesschen statistischen Inferenz ist die Prior-Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, bevor neue Daten gesammelt werden. Dies ist die beste rationale Einschätzung der Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses basierend auf dem aktuellen Wissen, bevor ein Experiment durchgeführt wird. Posterior-Wahrscheinlichkeit ist die revidierte Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis unter Berücksichtigung neuer Informationen eintritt. Die Posterior-Wahrscheinlichkeit wird berechnet, indem die A-priori-Wahrscheinlichkeit unter Verwendung des Bayes-Theorems aktualisiert wird. Statistisch ausgedrückt ist die Posterior-Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A, vorausgesetzt, dass Ereignis B eingetreten ist.
Das Bayessche Theorem gibt somit die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses an, das auf neuen Informationen basiert, die mit diesem Ereignis in Zusammenhang stehen oder damit in Beziehung stehen können. Die Formel kann auch verwendet werden, um zu sehen, wie die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses durch hypothetische neue Informationen beeinflusst wird, wenn sich die neuen Informationen als wahr herausstellen. Nehmen wir zum Beispiel an, eine einzelne Karte wird aus einem vollständigen Stapel von 52 Karten gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Karte ein König ist, ist vier geteilt durch 52, was 1/13 oder ungefähr 7,69 % entspricht. Denken Sie daran, dass es vier Könige im Deck gibt. Nehmen wir nun an, es wird aufgedeckt, dass die ausgewählte Karte eine Bildkarte ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Karte ein König ist, wenn es sich um eine Bildkarte handelt, beträgt vier geteilt durch 12 oder etwa 33,3%, da ein Deck 12 Bildkarten enthält.
Formel für den Satz von Bayes
Beispiele für den Satz von Bayes
Unten sind zwei Beispiele für Bayes‘ Theorem, in denen das erste Beispiel zeigt, wie die Formel in einem Aktieninvestitionsbeispiel unter Verwendung von Amazon.com Inc. ( AMZN ) abgeleitet werden kann. Das zweite Beispiel wendet den Satz von Bayes auf die Arzneimittelprüfung an.
Ableitung der Bayes-Theorem-Formel
Der Satz von Bayes folgt einfach aus den Axiomen der bedingten Wahrscheinlichkeit. Bedingte Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, wenn ein anderes Ereignis eingetreten ist. Eine einfache Wahrscheinlichkeitsfrage könnte beispielsweise lauten: „Wie wahrscheinlich ist es, dass der Aktienkurs von Amazon.com fällt?“ Die bedingte Wahrscheinlichkeit geht bei dieser Frage noch einen Schritt weiter, indem sie fragt: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der AMZN-Aktienkurs fällt , wenn der Dow Jones Industrial Average (DJIA) Index früher gefallen ist?“
Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A, dass B passiert ist, kann wie folgt ausgedrückt werden:
Wenn A ist: „AMZN-Preis fällt“, dann ist P(AMZN) die Wahrscheinlichkeit, dass AMZN fällt; und B ist: „DJIA ist bereits ausgefallen“ und P (DJIA) ist die Wahrscheinlichkeit, dass der DJIA gefallen ist; dann lautet der bedingte Wahrscheinlichkeitsausdruck: „Die Wahrscheinlichkeit, dass AMZN bei einem Rückgang des DJIA sinkt, ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass der AMZN-Preis sinkt und der DJIA über der Wahrscheinlichkeit eines Rückgangs des DJIA-Index sinkt.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN und DJIA) / P (DJIA)
P(AMZN und DJIA) ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl A als auch B auftreten. Dies ist auch dasselbe wie die Wahrscheinlichkeit, dass A auftritt, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit, dass B auftritt, wenn A auftritt, ausgedrückt als P(AMZN) x P(DJIA|AMZN). Die Tatsache, dass diese beiden Ausdrücke gleich sind, führt zum Satz von Bayes, der wie folgt geschrieben wird:
wenn, P (AMZN und DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
dann ist P(AMZN|DJIA) = [P(AMZN)